利用导数研究函数的单调性
共252题

· 利用导数研究函数的单调性

利用导数研究函数的单调性
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题型：简答题

简答题 · 14 分

21．

设函数f(x)=ax2－a－lnx，，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

正确答案

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 13 分

20.设f(x)=xlnx–ax2+(2a–1)x，a∈R.

(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；

(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

(Ⅱ) .

解析

试题分析：(Ⅰ)求导数

可得，

从而，

讨论当时，当时的两种情况即得.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.

试题解析：(Ⅰ)由

可得，

则，

当时，

时，，函数单调递增；

当时，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减.

所以当时，函数单调递增区间为；

当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.

①当时，，单调递减.

所以当时，，单调递减.

当时，，单调递增.

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，

可得当当时，，时，，

所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，

所以在x=1处取得极小值，不合题意.

③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，

所以当时，，单调递减，不合题意.

④当时，即，当时，，单调递增,

当时，，单调递减，

所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.

综上可知，实数a的取值范围为.

考查方向

1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：填空题

填空题 · 14 分

设函数f(x)=ax2－a－lnx，g(x)=－，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数。

（Ⅰ）讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）证明：当x＞1时，g(x)＞0；

（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f(x)＞g(x)在区间（1，+∞）内恒成立。

正确答案

（I）

<0，在内单调递减.

由=0，有.

当时，<0，单调递减；

当时，>0，单调递增.

（II）令=，则=.

当时，>0，所以，从而=>0.

（iii）由（II），当时，>0.

当，时，=.

故当>在区间内恒成立时，必有.

当时，>1.

由（I）有,从而，

所以此时>在区间内不恒成立.

当时，令=().

当时，=.

因此在区间单调递增.

又因为=0，所以当时，=>0，即>恒成立.

综上，.

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 12 分

20. 已知函数.

（I）当时，求曲线在处的切线方程；

(II)若当时，，求的取值范围.

正确答案

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.

设函数.

（I）讨论的单调性；

（II）证明当时，；

（III）设，证明当时，.

正确答案

（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减. ………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为.

所以当时，.

故当时，，，即. ………………7分

（Ⅲ）由题设，设，则，令，

解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减. ……………9分

由（Ⅱ）知，，故，又，故当时，.

所以当时，. ………………12分

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

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