- 利用导数研究函数的单调性
- 共252题
12.若函数存在极值,则实数
的取值范围是( )
正确答案
解析
由题意得:,因函数
存在极值,所以
在
上有两个相异实数根,即函数
与函数
有两个不同的交点,作出两个函数的图像,当
时,如图一所示,显然存在
,使得
在
递减,在
上递增,故此时函数存在极小值;当
时,如图二所示,易知,当两个函数相切时,可求得
,综上可知实数
的取值范围是
,故选择A选项。
考查方向
解题思路
先求导,由导数与极值的关系求出参数的范围。
易错点
不知导数与极值的关系导致本题出错。
知识点
21.已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)若函数的图象恒在直线
的下方,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)当时,若
,且
,判断
与
的大小关系,并说明理由.
注:题目中e=2.71828…是自然对数的底数.
正确答案
(1);(2)
;(3)
>
.
解析
试题分析:本题属于导数应用中的基本问题,题目的难度是逐渐由易到难,
(1)利用导数直接做;
(2)转化为求函数的最值。
(3)利用导数这个工具来解答。
(Ⅰ)当时,
,
,
切线l的斜率k=
,又
,
所以切线l的方程为.
(Ⅱ)由题知对于x>0恒成立,即
对于x>0恒成立,
令,则
,由
得
,
则当x>0时,
,
由,得
,所以实数a的取值范围是
。
(Ⅲ)>
.理由如下:
由题,
,由
得
,
当1<x<e时,,
单调递减,
因为,所以
,即
,
所以, ①
同理, ②
①+②得,
因为,
且由得
,即
,
所以
,即
,
所以,
所以>
.
考查方向
解题思路
本题考查导数的性质,解题步骤如下:
(1)利用导数直接做;
(2)转化为求函数的最值。
(3)利用导数这个工具来解答。
易错点
求参数的取值范围不会转化为求函数的最值。
知识点
21.已知函数.
(1)当时,记
图象上动点
处的切线斜率为
,求
的最小值;
(2)设函数(
为自然对数的底数),若对
,
恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
(1);(2)
。
解析
试题分析:本题属于函数与导数的问题,
(1)直接按照步骤来求;
(2)求参数的范围的时候不会将其转化为求最值来解决。
(1)
设,由于
,所以
,即
……………6分
(2)设,则
,易知
在
单调递增,
单调递减,
所以,
由条件知,可得
当时,
对
成立
综上,
考查方向
解题思路
本题考查函数与导数,解题步骤如下:
(1)直接按照步骤来求;
(2)求参数的范围的时候不会将其转化为求最值来解决。
易错点
在求参数的范围的时候不会将转化为求最值来解决。
知识点
已知函数.
26.若曲线在
处的切线方程为
,求
的单调区间;
27.若时,
恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
(1)的单调递增区间为
与
,
的单调递减区间为
解析
(1) 由已知得,则
,
而,所以函数
在
处的切线方程为
.
则,解得
,
那么,由
,得
或
,因则
的单调递增区间为
与
;.................4分
由,得
,因而
的单调递减区间为
考查方向
解题思路
直接利用求导,导数的几何意义直接得到所求的切线方程;后得到,然后利用求单调区间的方法求解即可。
易错点
求函数的单调区间时不注意定义域出错;
正确答案
(2)
解析
(2)若,得
,
即在区间
上恒成立.
设,则
,由
,得
,因而
在
上单调递增,由
,得
,因而
在
上单调递减 . .......10分 所以
的最大值为
,因而
,
从而实数的取值范围为
考查方向
解题思路
先分离参数后,构造函数,后求其最值即可得到答案。
易错点
不会分离参数,构造函数导致无从下手。
已知函数f(x)=.
25.讨论函数y=f(x)在x∈(m,+∞)上的单调性;
26.若m∈(0,],则当x∈[m,m+1]时,函数y=f(x)的图象是否总在函数g(x)=
+x图象上方?请写出判断过程.
正确答案
见解析
解析
解:(1)
,
,
所以
考查方向
解题思路
本题解题思路
1)借助导函数的性质,直接得出单调区间,
2)根据第一问结论得到转换 恒成立
3)构造新函数,求
易错点
本题易错在函数分类讨论不清,
正确答案
见解析
解析
解:
(2)由(1)知所以其最小值为
因为,
在
最大值为
所以下面判断与
的大小,即判断
与
的大小,其中
令,
,令
,则
因所以
,
单调递增;
所以,
故存在
使得
所以在
上单调递减,在
单调递增
所以
所以时,
即也即
所以函数的图象总在函数
图象上方.
考查方向
解题思路
本题解题思路
1)借助导函数的性质,直接得出单调区间,
2)根据第一问结论得到转换 恒成立
3)构造新函数,求
易错点
本题易错在函数分类讨论不清,
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