热门试卷

(1)证法一：记g(x)＝ln x＋－1－(x－1)，则当x＞1时，

。

又g(1)＝0，有g(x)＜0，即f(x)＜(x－1)。

证法二：由均值不等式，当x＞1时，＜x＋1，故

。①

令k(x)＝ln x－x＋1，则k(1)＝0，k′(x)＝－1＜0。

故k(x)＜0，即ln x＜x－1。②

由①②得，当x＞1时，f(x)＜(x－1)。

(2)证法一：记h(x)＝f(x)－。

由(1)得

＝。

令g(x)＝(x＋5)3－216x。

则当1＜x＜3时，g′(x)＝3(x＋5)2－216＜0，

因此g(x)在(1,3)内是递减函数。

又由g(1)＝0，得g(x)＜0，

所以h′(x)＜0，

因此h(x)在(1,3)内是递减函数。

又h(1)＝0，得h(x)＜0。

于是当1＜x＜3时，。

证法二：记h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，

则当1＜x＜3时，由(1)得

h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9

＜(x－1)＋(x＋5)()－9

＝［3x(x－1)＋(x＋5)(2＋)－18x］

＜［3x(x－1)＋(x＋5)(2＋＋)－18x］

＝(7x2－32x＋25)＜0，

因此h(x)在(1,3)内单调递减。

又h(1)＝0，所以h(x)＜0，即。

（1）已知，

又在处取极值，

则，又在处取最小值-5.

则

（2）要使单调递减，则

又递减区间长度是正整数，所以两根设做a，b。即有：

b-a为区间长度。又

又b-a为正整数，且m+n<10,所以m=2，n=3或，符合。

（1）f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.

故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

（2）由（1）知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)·.

令f′(x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减。

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)。