- 等比数列的判断与证明
- 共122题
请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。
正确答案
测试
设为实数,首项为
,公差为
的等差数列
的前
项和为
,满足
则
的取值范围是 。
正确答案
(-∞,-2∪
2
,+∞)
解析
2a12+9a1d+10d2+1=0,此方程有解,所以△=81d2-8(10d2+1)>0,得d>2或d<-2
知识点
在数列中,
,且对任意
.
,
,
成等差数列,其公差为
。
(1)若=
,证明
,
,
成等比数列(
)
(2)若对任意,
,
,
成等比数列,其公比为
。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:由题设,可得。
所以
=
=2k(k+1)
由=0,得
于是。
所以成等比数列。
(2)证法一:(i)证明:由成等差数列,及
成等比数列,得
当≠1时,可知
≠1,k
从而
所以是等差数列,公差为1。
(2)证明:,
,可得
,从而
=1.由(1)有
所以
因此,
以下分两种情况进行讨论:
(1) 当n为偶数时,设n=2m()
若m=1,则.
若m≥2,则
+
所以
(2)当n为奇数时,设n=2m+1()
所以从而
···
综合(1)(2)可知,对任意,
,有
证法二:(i)证明:由题设,可得
所以
由可知
。可得
,
所以是等差数列,公差为1。
(ii)证明:因为所以
。
所以,从而
,
。于是,由(i)可知所以
是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得
=
,故
。
从而。
所以,由
,可得
。
于是,由(i)可知
以下同证法一。
知识点
已知等比数列的公比为q,记
则以下结论一定正确的是( )
正确答案
解析
等比数列的公比为q,
同理可得
,
数列
为等比数列,
故选C
知识点
对区间I上有定义的函数,记
,已知定义域为
的函数
有反函数
,且
,若方程
有解
,则
正确答案
2
解析
根据反函数定义,当时,
;
时,
,而
的定义域为
,故当
时,
的取值应在集合
,故若
,只有
。
知识点
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:
(1)直线EF∥平面PCD;
(2)平面BEF⊥平面PAD.
正确答案
见解析
解析
(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.
又因为EF平面PCD,PD
平面PCD,
所以直线EF∥平面PCD.
(2)连结BD.
因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD,BF平面ABCD,
平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.
又因为BF平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.
知识点
已知矩形的顶点都在半径为4的球
的球面上,且
,则棱锥
的体积为()。
正确答案
解析
设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=,
OM=,
.
知识点
已知数列的各项均为正数,记
,
,
,
(1)若,且对任意
,三个数
组成等差数列,求数列
的通项公式.
(2)证明:数列是公比为
的等比数列的充分必要条件是:对任意
,三个数
组成公比为
的等比数列.
正确答案
见解析
解析
(1)对任意,三个数
是等差数列,所以
即亦即
故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是
(2)①必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意
,有
由
知,
均大于0,于是
即=
=
,所以三个数
组成公比为
的等比数列.
②充分性:若对于任意,三个数
组成公比为
的等比数列,
则,
于是得
即
由有
即
,从而
.
因为,所以
,故数列
是首项为
,公比为
的等比数列,
综上所述,数列是公比为
的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数
组成公比为
的等比数列.
知识点
设等比数列的前
项和为
,已知
(
)
(1)求数列的通项公式;
(2)在与
之间插入
个数,使这
个数组成一个公差为
的等差数列。
求证:(
)。
正确答案
见解析。
解析
(1)设等比数列的首项为
,公比为
,
,
(
)
=
即(
)
当,得
,即
,解得:
即.
(2)①,则
,
设① 则
②
① -②得:2+
=+
知识点
设{an}是公比为q的等比数列。
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列。
正确答案
见解析
解析
(1)设{an}的前n项和为Sn,
当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴,∴
(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
a12q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.
∵q≠0,∴q2-2q+1=0,
∴q=1,这与已知矛盾,
∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列
知识点
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