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题型:填空题
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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中,生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

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题型:填空题
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填空题 · 4 分

为实数,首项为,公差为的等差数列的前项和为,满足的取值范围是              。

正确答案

(-∞,-22,+∞)

解析

2a12+9a1d+10d2+1=0,此方程有解,所以△=81d2-8(10d2+1)>0,得d>2或d<-2

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

在数列中,,且对任意.成等差数列,其公差为

(1)若=,证明成等比数列(

(2)若对任意成等比数列,其公比为

正确答案

见解析。

解析

(1)证明:由题设,可得

所以

=

=2k(k+1)

=0,得

于是

所以成等比数列。

(2)证法一:(i)证明:由成等差数列,及成等比数列,得

≠1时,可知≠1,k

从而

所以是等差数列,公差为1。

(2)证明:,可得,从而=1.由(1)有

所以

因此,

以下分两种情况进行讨论:

(1)   当n为偶数时,设n=2m()

若m=1,则.

若m≥2,则

+

所以

(2)当n为奇数时,设n=2m+1(

所以从而···

综合(1)(2)可知,对任意,,有

证法二:(i)证明:由题设,可得

所以

可知。可得

所以是等差数列,公差为1。

(ii)证明:因为所以

所以,从而。于是,由(i)可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ,故

从而

所以,由,可得

于是,由(i)可知

以下同证法一。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知等比数列的公比为q,记

则以下结论一定正确的是(    )

A数列为等差数列,公差为

B数列为等比数列,公比为

C数列为等比数列,公比为

D数列为等比数列,公比为

正确答案

C

解析

等比数列的公比为q, 同理可得,数列为等比数列,故选C

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

对区间I上有定义的函数,记,已知定义域为的函数有反函数,且,若方程有解,则

正确答案

2

解析

根据反函数定义,当时,时,,而的定义域为,故当时,的取值应在集合,故若,只有

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.求证:

(1)直线EF∥平面PCD;

(2)平面BEF⊥平面PAD.

正确答案

见解析

解析

(1)在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.

又因为EF平面PCD,PD平面PCD,

所以直线EF∥平面PCD.

(2)连结BD.

因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD,BF平面ABCD,

平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.

又因为BF平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上,且,则棱锥的体积为()。

正确答案

解析

设ABCD所在的截面圆的圆心为M,则AM=,

OM=.

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列的各项均为正数,记

(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式.

(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列.

正确答案

见解析

解析

(1)对任意,三个数是等差数列,所以

亦即故数列是首项为1,公差为4的等差数列.于是

(2)①必要性:若数列是公比为q的等比数列,则对任意,有

知,均大于0,于是

,所以三个数组成公比为的等比数列.

②充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,

于是

,从而.

因为,所以,故数列是首项为,公比为的等比数列,

综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列.

知识点

充要条件的判定等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

设等比数列的前项和为,已知()

(1)求数列的通项公式;

(2)在之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列。

求证:()。

正确答案

见解析。

解析

(1)设等比数列的首项为,公比为

=

()

,得,即,解得:

.

(2)①,则

①     则

①  -②得:2+

=+

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

设{an}是公比为q的等比数列。

(1)推导{an}的前n项和公式;

(2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列。

正确答案

见解析

解析

(1)设{an}的前n项和为Sn

当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1

当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①

qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②

①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn

,∴

(2)证明:假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N

(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),

+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,

a12q2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1

∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.

∵q≠0,∴q2-2q+1=0,

∴q=1,这与已知矛盾,

∴假设不成立,故{an+1}不是等比数列

知识点

等比数列的判断与证明其它方法求和
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