等比数列的判断与证明_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.已知数列的前n项和，，其中0

（I）证明是等比数列，并求其通项公式

（II）若，求

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）由题意得，故，，.

由，得，即.由，得，所以.

因此是首项为，公比为的等比数列，于是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，

解得．

知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

17．已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（）

A，

B，

C，

D，

正确答案

B

解析

，，

，即

若，则，不可能成立

若，则，B成立

考查方向

无穷等比数列前项和公式以及各项和公式．

解题思路

先将无穷等比数列前项和公式以及各项和公式代入，然后化简得到，对之讨论即可．

易错点

对化简之后的讨论．

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.设数列A：， ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”。记G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。

（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；

（I I）证明：若数列A中存在使得>，则G（A）；

（I I I）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于-。

正确答案

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．

20.求{an}的通项公式；

21.若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）

解析

（I）因为，

所以，故，

当时，，

此时，即，

所以

考查方向

考查等差数列的通项公式的求法

解题思路

运用从一般到特殊的处理方法，准确确定等差数列的通项公式。

（Ⅰ）利用2Sn=3n+3，可求得a1=3；当n＞1时，2Sn﹣1=3n﹣1+3，两式相减2an=2Sn﹣2Sn﹣1，可求得an=3n﹣1，从而可得{an}的通项公式。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（II）因为，所以，

当时，，

所以；

，

所以

两式相减，得

，

所以

经检验，也适合，

综上可得

考查方向

本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考“查错位相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．

解题思路

（Ⅱ）依题意，anbn=log3an，可得，当n＞1时，bn=31﹣n•log33n﹣1=（n﹣1）×31﹣n，于是可求得T1=；当n＞1时，Tn=b1+b2+…+bn=+（1×3﹣1+2×3﹣2+…+（n﹣1）×31﹣n），利用错位相减法可求得{bn}的前n项和Tn．

易错点

数列的错位相减求和时错项的处理，等差数列与等比数列的性质．

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知数列的前项和为，且a1=2，a2=3，Sn为数列的前n项和，则S2016的值为（）

A0

B2

C5

D6

正确答案

A

解析

因为, a1=2，a2=3，所以a3=1,a4=-2,a5=-3,a6=-1,a7=2,……可知每6项循环一次，且和为0,所以2016/6=336，所以和为0.

考查方向

数列求和

解题思路

先写出前几项，然后找到规律，进而求解

易错点

找不出前n项和和数列通项的关系

知识点

等比数列的判断与证明

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

D

解析

根据指数函数的单调性，举反例：首项时，q=2，{an}是递减数列；反之，{an}为递增数列，q>1也不正确，如： ,0<q<1. 所以选D

考查方向

本题考查等比数列的单调性，充分条件与必要条件.

解题思路

等比数列的增减是由首项与公比确定的，当首项时，q>1，{an}是递减数列；反之，{an}为递增数列，q>1也不正确，如： ,0<q<1

易错点

对递增等比数列判断不准，对条件的性质判断不准.

知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用

1

题型：填空题

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填空题 · 6 分

11.设等比数列的前项和为，已知，某同学经过计算得到检验后发现其中恰好一个数算错了，则算错的这个数是　 ▲ ，该数列的公比是　 ▲ ．

正确答案

32（），.

解析

根据题意依次算出等比数列的前四项，分别为16，-16，-44，-54，若,则q=1,这与54矛盾，所以是错误的，所以该组数据中出错的是，所以,54=16，q=

考查方向

本题主要考查等比数列的前n项和及通项公式;逻辑推理能力.

解题思路

根据题意依次算出等比数列的前四项，分别为16，16，44，54，可判断出第二项不可能是16，所以该组数据中出错的是 , 再根据第四项计算出等比数列的公比.

易错点

本题易在“检验后发现其中恰好一个数算错了” 这句话理解上出错.

知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知单调递增的等比数列满足：且是的等差中项．

17.求数列的通项公式；

18.若，其前项和为，求．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

由得，

由且为递增数列，解得，

故，则

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 已知数列的前项和为，若数列满足各项均为正项，并且以(n∈N*)为坐标的点都在曲线上运动，则称数列为“抛物数列”.已知数列为“抛物数列”，则（）

A一定为等比数列

B一定为等差数列

C 只从第二项起为等比数列

D只从第二项起为等差数列

正确答案

B

解析

设数列的前n项和为，由题意知，，，两式相减得，，化简得，，因为数列各项均为正项，a为非0常数，所以，即，一定为等差数列，故选B。

考查方向

本题主要考查递推数列，数列与函数的关系，等差数列的定义等知识。

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．设数列{an}满足＋2n＝，n∈N*，且a1＝1．

(1)求证数列是等比数列；

(2)求数列{an}的前项和.

正确答案

（1）略

（2）

解析

(1) 解　由条件可得.∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，

两式相减整理得an＋1－3an＝2n，则，又＋4＝9，知（），经计算当时，也成立，所以

是首项为3，公比为3的等比数列，

(2)法一：由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1直接可得

法二：直接求和公式.

考查方向

本题主要考查等比数列的定义以及与之间的关系等知识。

解题思路

利用等式再结合等比数列的定义和前n项和公式求得答案。

易错点

第一问没有验证时也成立这一特例。

知识点

等比数列的判断与证明分组转化法求和

热门试卷

正确答案

解析

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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考查方向

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考查方向

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正确答案

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考查方向

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易错点

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