等比数列的判断与证明
共122题

· 等比数列的判断与证明

等比数列的判断与证明
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题型：简答题

简答题 · 12 分

17.已知数列的前n项和，，其中0

（I）证明是等比数列，并求其通项公式

（II）若，求

正确答案

见解析

解析

（Ⅰ）由题意得，故，，.

由，得，即.由，得，所以.

因此是首项为，公比为的等比数列，于是．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由得，即，

解得．

知识点

等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

17．已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是（）

A，

B，

C，

D，

正确答案

解析

，，

，即

若，则，不可能成立

若，则，B成立

考查方向

无穷等比数列前项和公式以及各项和公式．

解题思路

先将无穷等比数列前项和公式以及各项和公式代入，然后化简得到，对之讨论即可．

易错点

对化简之后的讨论．

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 13 分

20.设数列A：， ,… (N≥2)。如果对小于n(2≤n≤N)的每个正整数k都有＜，则称n是数列A的一个“G时刻”。记G（A）是数列A 的所有“G时刻”组成的集合。

（I）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出G（A）的所有元素；

（I I）证明：若数列A中存在使得>，则G（A）；

（I I I）证明：若数列A满足- ≤1（n=2,3, …,N）,则G（A）的元素个数不小于-。

正确答案

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

11. 已知数列的前项和为，若数列满足各项均为正项，并且以(n∈N*)为坐标的点都在曲线上运动，则称数列为“抛物数列”.已知数列为“抛物数列”，则（）

A一定为等比数列

B一定为等差数列

C 只从第二项起为等比数列

D只从第二项起为等差数列

正确答案

解析

设数列的前n项和为，由题意知，，，两式相减得，，化简得，，因为数列各项均为正项，a为非0常数，所以，即，一定为等差数列，故选B。

考查方向

本题主要考查递推数列，数列与函数的关系，等差数列的定义等知识。

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．设数列{an}满足＋2n＝，n∈N*，且a1＝1．

(1)求证数列是等比数列；

(2)求数列{an}的前项和.

正确答案

（1）略

（2）

解析

(1) 解　由条件可得.∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，

两式相减整理得an＋1－3an＝2n，则，又＋4＝9，知（），经计算当时，也成立，所以

是首项为3，公比为3的等比数列，

(2)法一：由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1直接可得

法二：直接求和公式.

考查方向

本题主要考查等比数列的定义以及与之间的关系等知识。

解题思路

利用等式再结合等比数列的定义和前n项和公式求得答案。

易错点

第一问没有验证时也成立这一特例。

知识点

等比数列的判断与证明分组转化法求和

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