等比数列的判断与证明
共122题

· 等比数列的判断与证明

等比数列的判断与证明
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题型：简答题

简答题 · 14 分

设等差数列的公差为,是中从第项开始的连续项的和,即

(1) 若,,成等比数列,问:数列是否成等比数列?请说明你的理由;

(2) 若,证明:.

正确答案

见解析。

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

对于各项均为正数的无穷数列，记，给出下列定义：①若存在实数，使成立，则称数列为“有上界数列”；②若数列为有上界数列，且存在，使成立，则称数列为“有最大值数列”；③若，则称数列为“比减小数列”。

（1）根据上述定义，判断数列是何种数列？

（2）若数列中，，，求证：数列既是有上界数列又是比减小数列；

（3）若数列是单调递增数列，且是有上界数列，但不是有最大值数列，求证：，。

正确答案

见解析

解析

（1），

且显然，且存在，

所以数列既是有上界数列，又是有最大值数列，………3分

（2）下面用数学归纳法证明，显然，假设n=k时命题成立，即

当n=k+1时，

所以，当n=k+1时，命题成立，即；

下面证明。，因为，所以，即，由，，两式相除得：，，

所以，，即；下面证明

即需证明，即需证明，而已证明成立，

所以，即，

所以，数列既是比减少数列又是有上界数列；………6分

（3）用反证法，假设对于，，即，因为无穷数列各项为正且单调递增，所以。，所以，当，时，，所以无穷数列不是有上界数列，与已知矛盾，假设不成立，因此，对于数列，，，……4分

知识点

等比数列的判断与证明

题型：单选题

单选题 · 5 分

若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；②P、Q关于原点对称，则称点对［P，Q］是函数y=f（x）的一个“友好点对”（点对［P，Q］与［Q，P］看作同一个“友好点对”），已知函数f(x)= ，则此函数的“友好点对”有

A0对

B1对

C2对

D3对

正确答案

解析

知识点

等比数列的判断与证明

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知等比数列的各项均为正数，若，，则此数列的其前项和

正确答案

解析

略

知识点

等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 18 分

定义：若各项为正实数的数列满足，则称数列为“算术平方根递推数列”.

已知数列满足且点在二次函数的图像上.

（1）试判断数列是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；

（2）记，求证：数列是等比数列，并求出通项公式；

（3）从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项，把这些项重新组成一个新数列：.若数列是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列各项的和为，求正整数的值。

正确答案

（1）数列是算术平方根递推数列（2）（3）

解析

（1）答：数列是算术平方根递推数列.

理由：在函数的图像上，

，.

又，

∴，

∴数列是算术平方根递推数列.

证明（2），

又,

数列是首项为,公比的等比数列.

（3）由题意可知，无穷等比数列的首项,公比，

，

化简，得，

若，则.这是矛盾！

又时，,

知识点

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