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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设等比数列{}的前n项和为Sn,已知

(1)求数列{}的通项公式;

(2)在之间插入n个数,使这n+2个数组成一个公差为d的等差数列。

(I)在数列{}中是否存在三项(其中m,k,p是等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的三项;若不存在,说明理由;

(II)求证:

正确答案

见解析。

解析

(1)由,

可得:,

两式相减:.

,

因为数列是等比数列,所以,故.

所以  .

(2)由(1)可知

因为:,得.

(Ⅰ)假设在数列中存在三项(其中成等差数列)成等比数列,

则:,即:,

       (*)

因为成等差数列,所以 ,

(*)可以化简为,故,这与题设矛盾.

所以在数列中不存在三项(其中成等差数列)成等比数列.…10分

(Ⅱ)令

,

两式相减:

.

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知数列满足(),则的值为          ;

的值为             。

正确答案

;2

解析

知识点

等比数列的判断与证明
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

设数列的前项和为,且满足

(1)求证:数列为等比数列;

(2)设,求证:

正确答案

见解析。

解析

(1)

是首项为,公比为的等比数列,且

(2)当时,

时,  

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知动圆与直线相切,并与定圆相内切.

(1)求动圆圆心P的轨迹C的方程.

(2)过原点作斜率为1的直线交曲线C于为第一象限点),又过作斜率为的直线交曲线C于,再过作斜率为的直线交曲线C于……如此继续,一般地,过作斜率为的直线交曲线C于,设.

①令,求证:数列是等比数列;

②数列的前n项和为,试比较大小.

正确答案

见解析

解析

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合定义法求轨迹方程
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知数列的各项均为正数,记,,

 。

(1)若,且对任意,三个数组成等差数列,求数列的通项公式。

(2)证明:数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意,三个数组成公比为的等比数列。

正确答案

见解析

解析

(1)因为对任意,三个数是等差数列,

所以,                           ………1分

所以,                                      ………2分

,                                    ………3分

所以数列是首项为1,公差为4的等差数列,                 ………4分

所以,                                ………5分

(2)(1)充分性:若对于任意,三个数组成公比为的等比数列,则

,                     ………6分

所以

,                                     ………7分

因为当时,由可得,                 ………8分

所以

因为

所以

即数列是首项为,公比为的等比数列,                ………9分

(2)必要性:若数列是公比为的等比数列,则对任意,有

,                                               ………10分

因为

所以均大于,于是

               ………11分

             ………12分

,所以三个数组成公比为的等比数列。

………13分

综上所述,数列是公比为的等比数列的充分必要条件是:对任意n∈N﹡,三个数组成公比为的等比数列,                ………14分

知识点

充要条件的应用等差数列的性质及应用等比数列的判断与证明
下一知识点 : 等比数列的性质及应用
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