热门试卷

（1）∵为偶数，∴可设，故，

若为偶数，则，由成等差数列，可知，

即，解得，故；                          ……………………2分

若为奇数，则，由成等差数列，可知，

即，解得，故；

∴的值为0或2。                                       …………………… 4分

（2）∵是奇数，∴，

，，依此类推，

可知成等比数列，且有，

又，，，…

∴当时，；当时，都有。        ……………………7分

故对于给定的，的最大值为

，所以。                  ……………………10分

（3）当为正整数时，必为非负整数，证明如下：

当时，由已知为正整数， 可知为非负整数，故结论成立；

假设当时，为非负整数，若，则；若为正偶数，

则必为正整数；若为正奇数，则必为非负整数。

故总有为非负整数，　　　　　　　　　　　　　　　　  　……………………13分

当为奇数时， ；当为偶数时，。

故总有，所以，

当时，，即。 …………………16分

又必为非负整数，故必有，　　　　　　　　　　　　 ……………………18分

【另法提示：先证“若为整数，且，则也为整数，且”，然后由是正整数，可知存在正整数，使得，由此推得，，及其以后的项均为０，可得当时，都有】

解析：

（1），，，当时，

=2，所以为等比数列。 ，。

（2） 由（1）可得 

；   ，    ，

所以，且，所以的最小值为

（3）由（1）当时，

当时，，，

所以对正整数都有。

由，，(且)，只能是不小于3的奇数。

①当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，

仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”。

（1）当时，。

因为，，即，，

所以或或。

故此时满足条件的数列{an}共有3个：； 1，1，1； 1，2，1。

（2）令bi＝(1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{an}，满足条件：

，且bi∈ (1≤i≤7)，

反之，由符合上述条件的7项数列{bn}可唯一确定一个符合条件的8项数列{an}。

记符合条件的数列{bn}的个数为N。

显然，bi (1≤i≤7)中有k个2；从而有k个，7－2k个1。

当k给定时，{bn}的取法有种，易得k的可能值只有0，1，2，3，

故。

因此，符合条件的数列{an}的个数为393。

(1)方法1：由时，得，

两边同时乘以得，，即时，

故是公差为的等差数列。

又， 所以。        ……………………………… 6分

方法2：时，，代入

整理得，故是公差为的等差数列。

(2)由(1)得，，故，

所以                        ………………………………8分

则

因为，得

当时，；当时，

综上，存在符合条件的所有有序实数对为：。  ………………12分

（1）由题设，知，，…，构成首项，公差的等差数列。

故（，）（万元）。                         （3分）

，，…，（，）构成首项，公比的等比数列。

故（，）（万元），　　　        　　　　　（6分）

于是，（）（万元），　             （7分）

（2）由（1）知，是单调递减数列，于是，数列也是单调递减数列。

当时，，单调递减，（万元）。

所以（万元）。

当时，，　       （9分）

当时，（万元）；当时，（万元），　   　（13分）

所以，当，时，恒有。

故该企业需要在第11年年初更换型车床，　　　　　　　　　　　　　（14分）

（1）当时，有

，也满足上式，

所以数列的通项为. 

（2）因为，

所以对任意的有，

所以数列是一个以6为周期的循环数列

又因为，所以

所以

，

所以数列为常数列. 

（3）因为，且，所以，

且对任意的，有，

设，（其中为常数且），所以

，

所以数列均为以7为公差的等差数列.

记，则，

（其中，为中的一个常数），

当时，对任意的有；

当时，

①若，则对任意的有，数列为单调减数列；

②若，则对任意的有，数列为单调增数列；

综上，当时，数列中必有某数重复出现无数次

当时，符合要求；当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

当时，符合要求，此时的；

即当时，数列中必有某数重复出现无数次.