热门试卷

（1）∵为偶数，∴可设，故，

若为偶数，则，由成等差数列，可知，

即，解得，故；                          ……………………2分

若为奇数，则，由成等差数列，可知，

即，解得，故；

∴的值为0或2。                                       …………………… 4分

（2）∵是奇数，∴，

，，依此类推，

可知成等比数列，且有，

又，，，…

∴当时，；当时，都有。        ……………………7分

故对于给定的，的最大值为

，所以。                  ……………………10分

（3）当为正整数时，必为非负整数，证明如下：

当时，由已知为正整数， 可知为非负整数，故结论成立；

假设当时，为非负整数，若，则；若为正偶数，

则必为正整数；若为正奇数，则必为非负整数。

故总有为非负整数，　　　　　　　　　　　　　　　　  　……………………13分

当为奇数时， ；当为偶数时，。

故总有，所以，

当时，，即。 …………………16分

又必为非负整数，故必有，　　　　　　　　　　　　 ……………………18分

【另法提示：先证“若为整数，且，则也为整数，且”，然后由是正整数，可知存在正整数，使得，由此推得，，及其以后的项均为０，可得当时，都有】

解析：

（1），，，当时，

=2，所以为等比数列。 ，。

（2） 由（1）可得 

；   ，    ，

所以，且，所以的最小值为

（3）由（1）当时，

当时，，，

所以对正整数都有。

由，，(且)，只能是不小于3的奇数。

①当为偶数时，，

因为和都是大于1的正整数，

所以存在正整数，使得，，

,，所以且，

相应的，即有，为“指数型和”；

②当为奇数时，，由于是个奇数之和，

仍为奇数，又为正偶数，所以 不成立，此时没有“指数型和”。