等比数列的判断与证明
共122题

· 等比数列的判断与证明

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题型：简答题

简答题 · 12 分

18．设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝kn2＋n，n∈N*，其中k是常数．

（1）求a1及an

（2）若对于任意的m∈N*，am，a2m，a4m成等比数列，求k的值．

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对自然数，规定为的阶差分数列，其中。

（1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

（2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

（3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

正确答案

（1），

∴是首项为4，公差为2的等差数列。

，

∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。

（2），

即，

∴ ，

∵，

∴，

，

猜想：，

证明：ⅰ）当时，；

ⅱ）假设时，；时，

结论也成立，

∴由ⅰ）、ⅱ）可知，。

（3），

即，

∵，

∴存在等差数列，，

使得对一切自然都成立。

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

22．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于、两点，且直线与轴交于点.

（1）求证:，，成等比数列；

（2）设，，试问是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由．

正确答案

解：（1）设直线的方程为：，

联立方程可得得: ①

设，，，则， ②

，

而，∴，

即，、成等比数列

（2）由，得，

，

即得：，，则

由(1)中②代入得，故为定值且定值为

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知识点

等比数列的判断与证明抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．设数列的前n项和为，已知，

（1）设，证明数列是等比数列

（2）求数列的通项公式。

正确答案

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由an与Sn的关系求通项an由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 14 分

20.已知数列{an}中，a1＝t（t∈R，且t≠0,1），a2＝t2，且当x＝t时，函数f（x）＝（an－an－1）x2－（an＋1－an）x（n≥2，n∈N）取得极值.

（Ⅰ）求证：数列{an＋1－an}是等比数列；

（Ⅱ）若bn＝anln|an|（n∈N），求数列{bn}的前n项和Sn；

（Ⅲ）当t＝－时，数列{bn}中是否存在最大项？如果存在，说明是第几项；如果不存在，请说明理由.

正确答案

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