- 相似三角形的判定及性质
- 共36题
A
B
C4-2
D3
正确答案
解析
解：设半径为R，
则AD=
由射影定理得：
CD2=AD•BD
则CD=
从而θ=
故tan2
故选A．
如图在Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=6，AD=3.6，则BD=______．
正确答案
6.4
解析
解：∵△ABC是直角三角形，CD⊥AB，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴∠B=∠ACD，
∴△ACD∽△ABC，
∴
∵AC=6，AD=3.6，
∴AB=10，
∴BD=10-3.6=6.4．
故答案为：6.4．
求证：AF•AC=BG•BE．
正确答案
证明：∵CD垂直平分AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=DB．
在Rt△ADC中，∵DF⊥AC，∴AD2=AF•AC．
同理BD2=BG•BE．
∴AF•AC=BG•BE．
解析
证明：∵CD垂直平分AB，∴∠ADC=∠BDC=90°，AD=DB．
在Rt△ADC中，∵DF⊥AC，∴AD2=AF•AC．
同理BD2=BG•BE．
∴AF•AC=BG•BE．
正确答案
解析
解：∵AB是圆O的直径
∴AC⊥BC
∴∠B+∠A=90°
∵CD⊥AB
∴∠B+∠DCB=90°
∴∠DCB=∠A
∴Rt△ADC∽Rt△CDB
∴
∵CD=4，BD=8
∴AD=
故选A
如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD=3：2，则tanB=（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵BD：CD=3：2，∴不妨取BD=3，CD=2．
∵Rt△ABC中，∠A=90°，AD⊥BC于点D，∴AD2=BD•CD=6，解得
∴
故选：D．
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，若
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图所示，
∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，
∴AB2=BD•BC，AC2=CD•BC，
又
∴
故选：C．
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是______．
正确答案
①④
解析
解：由所给的正方体知，
△PAC在该正方体上下面上的射影是①，
△PAC在该正方体左右面上的射影是④，
△PAC在该正方体前后面上的射影是④
故答案为：①④
在△ABC外作正方形ABDE和正方形ACFG，已知BC=13，CA=8，AB=15，则△AEG的面积为______．
正确答案
30
解析
解：如图
△ABC中，cos∠BAC=
∴sin∠BAC=
∴sin∠EAG=sin∠BAC=
∴△AEG的面积为
S△AEG=
=
故答案为：30
（I）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：B1F⊥平面AEF；
（Ⅲ）求二面角B1-AE-F的余弦值．
正确答案
解：方法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA1=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B1（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I）
∵
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II）
∴
∵AF∩FE=F，∴B1F⊥平面AEF（8分）
（III）平面AEF的法向量为
∴
令x=2，则Z=-2，y=1，∴
∴
∴二面角B1-AE-F的余弦值为
方法2：（I）方法i：设G是AB的中点，连接DG，
则DG平行且等于EC，（2分）
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．（4分）
方法ii：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线
于点P，连接BP．由E为C1C的中点，A1C1∥CP，
可证A1E=EP，（2分）
∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，（6分）
设AB=AA1=2，则
∴B1F⊥EF，∴B1F⊥平面AEF；（8分）
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，
∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE，
∴∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角，
C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求
在Rt△B1FM中，∠B1FM=90°，∴
∴二面角B1-AE-F的余弦值为
解析
解：方法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，令AB=AA1=4，
则A（0，0，0），E（0，4，2），F（2，2，0），B（4，0，0），
B1（4，0，4），D（2，0，2），（2分）
（I）
∵
∴DE∥平面ABC．（4分）
（II）
∴
∵AF∩FE=F，∴B1F⊥平面AEF（8分）
（III）平面AEF的法向量为
∴
令x=2，则Z=-2，y=1，∴
∴
∴二面角B1-AE-F的余弦值为
方法2：（I）方法i：设G是AB的中点，连接DG，
则DG平行且等于EC，（2分）
所以四边形DECG是平行四边形，所以DE∥GC，
从而DE∥平面ABC．（4分）
方法ii：连接A1B、A1E，并延长A1E交AC的延长线
于点P，连接BP．由E为C1C的中点，A1C1∥CP，
可证A1E=EP，（2分）
∵D、E是A1B、A1P的中点，∴DE∥BP，
又∵BP⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC（4分）
（II）∵△ABC为等腰直角三角形，F为BC的中点，
∴BC⊥AF，又∵B1B⊥平面ABC，可证B1F⊥AF，（6分）
设AB=AA1=2，则
∴B1F⊥EF，∴B1F⊥平面AEF；（8分）
（III）过F做FM⊥AE于点M，连接B1M，
∵B1F⊥平面AEF，由三垂线定理可证B1M⊥AE，
∴∠B1MF为二面角B1-AE-F的平面角，
C1C⊥平面ABC，AF⊥FC，可证EF⊥AF，
在Rt△AEF中，可求
在Rt△B1FM中，∠B1FM=90°，∴
∴二面角B1-AE-F的余弦值为
直角△ABC中，斜边AB上的高为CD，则（ ）
正确答案
解析
∴AB2=AC2+BC2=x2+CD2+y2+CD2=（x+y）2；
∴2CD2=2xy≤x2+y2；
∴4CD2≤x2+y2+2xy=（x+y）2；
∴AB≥
故选：B．
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