热门试卷

（1）证明：因为侧面均为正方形，

所以,

所以平面，三棱柱是直三棱柱．　　　

因为平面，所以，　　　　　　　　　

又因为，为中点，所以．          

因为,所以平面．      

（2）

证明：连结，交于点，连结，

因为为正方形，所以为中点，

又为中点，所以为中位线，

所以，          

因为平面，平面，

所以平面．  

（3）解： 因为侧面，均为正方形， ，

所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系．

设，则．

，                            

设平面的法向量为，则有

，， ，

取，得．                   

又因为平面，所以平面的法向量为，

，                    

因为二面角是钝角，

所以，二面角的余弦值为．             

解法一：（1）将圆柱一半展开后底面的半个圆周变成长方形的边BA，曲线就是对角线BD。          由于，,所以这实际上是一个正方形.所以曲线的长度为；  

（2）当时，点恰好为AB的中点，所以P为中点，

  故点到平面APB的距离与点到平面APB的距离相等。

  连结AP、BP，OP. 由且知：平面APB.  

  从而平面平面APB。作于H，则平面APB。

  所以，即为点到平面APB的距离。 

   在中，， 所以。

   于是：。

    所以，点到平面APB的距离为；

（3）由于二面角为直二面角，故只要考查二面角是否为即可。 

 过作于Q，连结PQ。

 由于，，所以平面， 所以。

 于是即为二面角的平面角。 在中，。

 若，则需，即，

  令，则， 故在单调递减。

  所以，即 在上恒成立。

  故不存在，使。也就是说，不存在，使二面角为。

  解法二：如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，过O与OB垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系。

   则，。由于，

   所以，，于是，。                   

（1）同解法一； 

（2）当时，，，所以是平面APB的一个法向量。

又，所以点到平面APB的距离。

（3）设是平面APB的一个法向量，则，

 取。又是平面DAB的一个法向量。

由得：。

以下同解法一。

解法一：（1）因为，，由勾股定理得，

因为平面平面，平面平面=，面，

所以平面面，所以平面平面；

（2）如图，因为平面，所以平面平面，

所以，做于，所以面，，

设面面=，面平面所以面面，

所以，取中点，得为平行四边形，

由平面边长得为中点，    所以，           

解法二：（1）同一

（2）在平面过做垂线为轴，由（1），以为原点，为轴建立空间直角坐标系, 

 设平面法向量为，设，锐角所以，

 由，解得，，，

 解得或（舍），设，解得，

因为面平面，，所以面法向量为，

所以，解得，所以到平面的距离为竖坐标．