热门试卷

（1）由题意知，，都是边长为2的等边三角形，取中点，连接，则，

又∵平面⊥平面，∴⊥平面，作⊥平面，

那么，根据题意，点落在上，

∴，易求得，

∴四边形是平行四边形，∴，∴平面 

（2）解法一：作，垂足为，连接，

∵⊥平面，∴，又，

∴平面，∴，∴就是二面角的平面角。

中，，，。

∴，即二面角的余弦值为.

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为

设平面的一个法向量为

则，可求得。

所以，

又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角的余弦值为。

【方法一】（1）证明：由题意知 则

   （4分）

（2）∵∥，又平面.

∴平面平面.

过作//交于

过点作交于,则

∠为直线与平面所成的角。

在Rt△中，∠，，

∴，∴∠.

即直线与平面所成角为.  （8分）

（3）连结，∵∥，∴∥平面.

又∵∥平面，

∴平面∥平面，∴∥.

又∵

∴∴，即 （12分）

【方法二】如图，在平面ABCD内过D作直线DF//AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系.

（1）设，则，

∵，∴.　（4分）

（2）由（1）知.

由条件知A（1，0，0），B（1，，0），

.

设，

则

 即直线为.  （8分）

（3）由（2）知C（－3，，0），记P（0，0，a），则

，，，，

而，所以，

=

设为平面PAB的法向量，则，即，即.

  进而得，

由,得∴

（12分）

（1）当时，平面

证明：连交于，连。

由可得，，，所以。

若，即， 

由平面，故平面，   4分

（2）由PA=PD=AD=2， Q为AD的中点，则PQ⊥AD

又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，

∵四边形ABCD为菱形，∴AD=AB， 由 ∠BAD=60°得△ABD为正三角形，

又∵Q为AD中点， ∴AD⊥BQ                                             8分

以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为

轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为

A（1，0，0），B（），Q（0，0，0），P（0，0，）

设平面MQB的法向量为，

可得，令z=1，解得

取平面ABCD的法向量，设所求二面角为，

则    故二面角的大小为60°，                12分

解析：解法1:（1）延长B1E交BC于点F,

∽△FEB,BE=EC1,∴BF=B1C1=BC,

从而点F为BC的中点.

∵G为△ABC的重心,∴A、G、F三点共线.且,

又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.                                  …………5分

（2）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC,侧棱AA1与底面ABC成60°的角,∴∠A1AB=60°,

又AA1=AB=2,取AB的中点O,则AO⊥底面ABC.

以O为原点建立空间直角坐标系O—如图,

则,,,,,.

∵G为△ABC的重心,∴.,∴,

∴.      又GE侧面AA1B1B,∴GE//侧面AA1B1B.  …………6分

（2）设平面B1GE的法向量为,则由得

可取 又底面ABC的一个法向量为

设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为,则.

故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的余弦值为.                 …………12分

（1）证明：

点在平面上的射影是的中点，

PD⊥平面ABC,PD平面PAC

平面PAC⊥平面ABC ………………2分

BC＝2AC＝8，AB＝4

，故AC⊥BC ………4分

又平面PAC平面ABC=AC，BC平面ABC

BC⊥平面PAC，又BC平面PBC

平面PBC⊥平面PAC………6分

（2）如图所示建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，8，0），P（2，0， ），.………8分

设平面PAB的法向量为

令

设平面PBC的法向量为

,

令＝0，=1，=－，………10分

二面角的平面角的余弦值为………12分

（1）连延长交于，

因为点为的重心，所以

又，所以，所以//；

因为//，//，所以平面//平面，

又与分别是棱长为1与2的正三角形，

为中点，为中点, //,又//，

所以//，得四点共面

//平面

（2）平面平面，易得平面平面，

以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，

则，设，

，

，

因为与所成角为，所以，

得，，，

设平面的法向量，则，取，

面的法向量，

所以二面角的余弦值。

解析： （1）证明：根据三视图知：三棱柱是直三棱柱，，连结，交于点，连结.由 是直三棱柱，

得 四边形为矩形，为的中点。

又为中点，所以为中位线，所以 ∥，…………2分

因为 平面，平面，

所以 ∥平面.  …………………………4分

（2）解：由是直三棱柱，且，故两两垂直。

如图建立空间直角坐标系.                     ……………5分

，则.

所以 ，

设平面的法向量为，则有

所以  取，得.  …………………… …6分

易知平面的法向量为.

由二面角是锐角，得 .

所以二面角的余弦值为.…………………………8分

（3）解：假设存在满足条件的点.

因为在线段上，，，故可设，其中.

所以 ，.      ………………………9分

因为与成角………………………10分

所以，解得，舍去. 

所以当点为线段中点时，与成角.    ………………………12分

（1）由，得

曲线的直角坐标方程为  …………4分

（2）将直线的参数方程代入，得

设A、B两点对应的参数分别为则………7分

当时，|AB|的最小值为2.                        …………10分