- 选修部分
- 共638题
【选修4-1:几何证明选讲】
如图,已知D为以AB为斜边的Rt△ABC的外接圆O上一点,CE⊥AB,BD交AC,CE的交点分别为F,G,且G为BF中点,
27.求证:BC=CD;
28.过点C作圆O的切线交AD延长线于点H,若AB=4,DH =1,求AD的长.
正确答案
(1)BC=CD;
解析
(1)由题意知为圆的直径,则
.
又∵为
中点,∴
,
.
由,知
,
,
∴,则
,
∴,∴
,即
.
考查方向
解题思路
(1)通过弧长相等得出线段相等;(2)通过圆的切割线定理计算AD的长。
易错点
对圆的切割线定理的灵活运用。
正确答案
(2)AD=2
解析
(2)∵四点共圆,所以
,
又∵为
的切线,∴
,
∴,∴
,且
.
由(1)知,且
,
,[
∴,
.
由切割线定理,得,
,解得
.
考查方向
解题思路
(1)通过弧长相等得出线段相等;(2)通过圆的切割线定理计算AD的长。
易错点
对圆的切割线定理的灵活运用。
4-1 :几何证明选讲
如图,在锐角三角形
中,
,以
为直径的圆
与边
另外的交点分别为
,且
于
27.求证:是
的切线;
28.若,
,求
的长.
正确答案
(1)略;
解析
(Ⅰ)连结则
又
,∴
为
的中点,
而为
中点,∴
,又
,∴
,
而是半径,∴
是
的切线.
考查方向
解题思路
先证明为
的中点,后证
即可;
易错点
不会做辅助线导致没有思路;
正确答案
(2)5
解析
(Ⅱ)连,则
,则
,∴
,
设,则
,由切割线定理得:
,即
,解得:
(舍),∴
考查方向
解题思路
先证明得到
,后利用切割线定理即可求得答案。
易错点
不会利用圆的内接四边形的性质出错。
【选修4-1:几何证明选讲】
如图,点在圆
上,
、
的延长线交于点
,
交于点
,
.
27.证明:弧弧
;
28.若,求
的长.
正确答案
(1)弧弧
;
解析
试题分析:本题属于圆与三角形基本性质的应用,较基础。
(Ⅰ)证明:∵
∴
∵
∴
∵,
∴,又
∴
∴
∴.
考查方向
解题思路
(1)由知
,再利用
推出
(2)利用相似三角形的相似比得出答案。
易错点
圆及三角形的性质应用出错。
正确答案
(2)
解析
试题分析:本题属于圆与三角形基本性质的应用,较基础。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,又
∴
∴
又∵,
,
∴.
考查方向
解题思路
(1)由知
,再利用
推出
(2)利用相似三角形的相似比得出答案。
易错点
圆及三角形的性质应用出错。
选修4-1:几何证明选讲
如图,过圆外一点
作一条直线与圆
交于
两点,且
,作直线
与圆
相切于点
,连结
交
于点
,已知圆
的半径为
,
.
27.求的长;
28.求的值.
正确答案
3;
解析
延长交圆
于点
,连结
,则
,又
,所以
,又
,可知
,所以
.根据切割线定理得
,即
.
考查方向
解题思路
第一问由切割线定理可得;
易错点
三角形相似容易找错,切割线定理用不熟练。
正确答案
解析
过作
于
,则
,从而有
,又由题意知
,所以
,因此
.
考查方向
解题思路
第二问将两条线段归到两个相似三角形中,用相似得到比例关系。
易错点
三角形相似容易找错,切割线定理用不熟练。
8.如图,以的
边为直径的半圆交
于点
,交
于点
,
于
,
,
,
,则
长为()
正确答案
解析
连接BE,由BC为直径知,设
,则
,在
中,由射影定理得
,在
中,由
,
得
,所以
,解得
,所以
,由割线定理得
,所以
,故选B。
考查方向
解题思路
1.先根据射影定理求出,然后利用勾股定理解出
;2.利用割线定理求出
。
易错点
1.看不出AB、BE和AE之间的关系;2.不会利用割线定理找关系求解。
知识点
已知AB是圆的直径,C为圆
上一点,CD⊥AB于点D,弦BE与CD、AC 分别交于点M、N,且MN = MC
求证:MN = MB;
求证:OC⊥MN。
正确答案
详见解题过程;
解析
试题分析:本题属于平面几何的基本问题,由圆的性质直接导出角关系
连结AE,BC,∵AB是圆O的直径,∴∠AEB=90°,∠ACB=90°∵MN=MC,
∴∠MCN=∠MNC又∵∠ENA=∠MNC,∴∠ENA=∠MCN∴∠EAC=∠DCB,
∵∠EAC=∠EBC,∴∠MBC=∠MCB,∴MB=MC∴MN=MB.
考查方向
解题思路
本题考查圆的性质及相似、全等,解题步骤如下:由圆的性质得到角的等量关系。
易错点
对图形的分析不到位和定理不熟练导致出错。
正确答案
详见解题过程
解析
试题分析:本题属于平面几何的基本问题,由角度等量关系去证所证。
设OC∩BE=F,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,由(1)知,∠MBC=∠MCB,∴∠DBM=∠FCM.又∵∠DMB=∠FMC,∴∠MDB=∠MFC,即∠MFC=90°∴OC⊥MN.
考查方向
解题思路
本题考查圆的性质及相似、全等,解题步骤如下:由角度等量关系去证所证。
易错点
对图形的分析不到位和定理不熟练导致出错。
选修4-1: 几何证明选讲.
如图所示,已知与⊙
相切,
为切点,过点
的割线交圆于
两点,弦
,
相交于点
,
为
上一点,且
.
28.求证:;
29.若,求
的长.
正确答案
证明略
解析
∵,
∴
∽
,∴
又∵,∴
, ∴
,
∴∽
, ∴
, ∴
又∵,∴
考查方向
解题思路
先证明,再证
,可证得
易错点
找不准三角形相似或全等的条件
正确答案
PA=
解析
∵,
∴
,∵
∴
由28题可知:
,解得
.
∴. ∵
是⊙
的切线,∴
∴,解得
.得
考查方向
解题思路
先综合题中条件及28题中结论,解出EP=,BP=
,再由切割线定理,解得PA=
易错点
找不准三角形相似或全等的条件
等腰梯形中,
∥
,
、
交于点
,
平分
,
为梯形
外接圆的切线,交
的延长线于点
.
27.求证:;
28.若,
,
,求
的长.
正确答案
略;
解析
(1) 为圆的切线
,
平分
为圆的切线
.-------------5分
考查方向
解题思路
根据切割线定理得,再证
,即可得证.根据同弧对的圆周角相等,可得
,进一步求
即可.
易错点
难以找出相等的角,进而将边转化求长度.
正确答案
.
解析
与
相似
,
.-------------10分
考查方向
解题思路
根据切割线定理得,再证
,即可得证.根据同弧对的圆周角相等,可得
,进一步求
即可.
易错点
难以找出相等的角,进而将边转化求长度.
等腰梯形中,
∥
,
、
交于点
,
平分
,
为梯形
外接圆的切线,交
的延长线于点
.
27.求证:;
28.若,
,
,求
的长.
正确答案
(1)证明略;
解析
(1) 为圆的切线
,
平分
为圆的切线
.-------------6分
考查方向
解题思路
根据切割线定理得,再证
,即可得证.
根据同弧对的圆周角相等,可得,进一步求
即可.
易错点
难以找出相等的角,进而将边转化求长度.
正确答案
解析
,
.-------------12分
考查方向
解题思路
根据切割线定理得,再证
,即可得证.
根据同弧对的圆周角相等,可得,进一步求
即可.
易错点
难以找出相等的角,进而将边转化求长度.
如图,点O为坐标原点,直线经过抛物线C:y2=4x的焦点F.
26.若点O到直线的距离为
,求直线
的方程;
27.设点A是直线与抛物线C在第一象限的交点.点B是以点F为圆心,|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点.试判断直线AB与抛物线C的位置关系,并给出证明.
正确答案
略
正确答案
略
请考生在选做题中任选一题作答。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果多做,则按所做的第一题计分。
24.选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O 中弧AB的中点为,弦
分别交
于
两点.
(I)若,求
的大小;
(II)若的垂直平分线与
的垂直平分线交于点
,证明
.
25.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
,以坐标原点为极点,以
轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(I)写出的普通方程和
的直角坐标方程;
(II)设点P在上,点Q在
上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
26.选修4-5:不等式选讲
已知函数
(I)当a=2时,求不等式的解集;
(II)设函数当
时,
,求
的取值范围.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)因为
,所以
,由此知
四点共圆,其圆心既在
的垂直平分线上,又在
的垂直平分线上,故
就是过
四点的圆的圆心,所以
在
的垂直平分线上,因此
.
解析
(Ⅰ)连结,则
.
因为,所以
,又
,所以
.
又,所以
, 因此
.
(Ⅱ)因为,所以
,由此知
四点共圆,其圆心既在
的垂直平分线上,又在
的垂直平分线上,故
就是过
四点的圆的圆心,所以
在
的垂直平分线上,因此
.
考查方向
解题思路
1、圆周角定理;2、三角形内角和定理;3、垂直平分线定理;4、四点共圆.
易错点
圆周角定理,四点共圆相关性质问题。
正确答案
(Ⅰ)的普通方程为
,
的直角坐标方程为
;(Ⅱ)
.
解析
选修4-4:坐标系与参数方程
(Ⅰ)的普通方程为
,
的直角坐标方程为
. ……5分
(Ⅱ)由题意,可设点的直角坐标为
,因为
是直线,所以
的最小值,
即为到
的距离
的最小值,
.
………………8分
当且仅当时,
取得最小值,最小值为
,此时
的直角坐标为
. ………………10分
考查方向
1、椭圆的参数方程;2、直线的极坐标方程.
解题思路
利用同角三角函数关系中的平方关系化曲线c1 的参数方程 普通方程式,利用公式代入C2的极坐标方程即可
易错点
参数方程与普通方程的互化,点线距中最后与三角的综合应用。
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
.
解析
(Ⅰ)当时,
.
解不等式,得
.
因此,的解集为
. ………………5分
(Ⅱ)当时,
,
当时等号成立,
所以当时,
等价于
. ① ……7分
当时,①等价于
,无解.
当时,①等价于
,解得
.
所以的取值范围是
. ………………10分
考查方向
解题思路
(Ⅰ)利用等价不等式,进而通过解不等式可求得;(Ⅱ)根据条件可首先将问题转化求解
的最小值,此最值可利用三角形不等式求得,再根据恒成立的意义建立简单的关于
的不等式求解即可.
易错点
绝对值符号的去掉讨论,含参数问题的分类讨论。
10.如图,在中,
,
,若以
为直径的圆交
于点
,则阴影部分的面积是__________.
正确答案
1
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
22.如图,AB为圆O的直径,BE为圆O的切线,点C为圆O上不同于A、B的一点,AD为∠BAC的平分线,且分别与BC交于H,与圆O交于D,与BE交于E,连结BD、CD.
(Ⅰ)求证:BD平分∠CBE;
(Ⅱ)求证:.
正确答案
见解析
解析
证明:
(I)由弦切角定理得到∠DBE=∠DAB,又∠DBC=∠DAC,∠DAB=∠DAC,所以∠DBE=∠DBC,即BD平分∠CBE.
(Ⅱ)由(I)可知BE=BH,所以,因为∠DAB=∠DAC,∠ACB=∠ABE,所以△AHC∽△AEB,
所以,即
,即
.
考查方向
解题思路
利用弦切角定理找出与其相等的角,并进行相等角间转化;利用相似三角形的判定定理判定△AHC∽△AEB;利用相似三角形对应边成比例,证明有关问题.
易错点
辅助线的作法,相似条件找不准
知识点
如图,AB是半圆的直径,C是AB延长线上一点,CD切半圆于点D,CD=2,DE⊥AB,垂足为E,且E是OB的中点,则BC的长为 。
正确答案
解析
略
知识点
选修41:几何证明选讲
如图14,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:
(1)BE=EC;
(2)AD·DE=2PB2.
正确答案
(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,
故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,
所以AD·DE=2PB2.
解析
(1)连接AB,AC.由题设知PA=PD,
故∠PAD=∠PDA.
因为∠PDA=∠DAC+∠DCA,
∠PAD=∠BAD+∠PAB,
∠DCA=∠PAB,
所以∠DAC=∠BAD,从而BE=EC.
因此BE=EC.
(2)由切割线定理得PA2=PB·PC.
因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB.
由相交弦定理得AD·DE=BD·DC,
所以AD·DE=2PB2.
知识点
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