直线和圆的方程_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．若直线：与轴相交于点，与轴相交于B点，被圆截得的弦长为4，则（为坐标原点）的最小值为（）

A

B

C2

D1

正确答案

A

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知识点

直线与圆相交的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4．已知函数，若，则＝（）

A－1

B

C－1或

D1或-

正确答案

C

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知识点

直线与圆相交的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．已知圆，直线

（1）若与相切，求的值；

（2）是否存在值，使得与相交于两点，且（其中为坐标原点），若存在，求出，若不存在，请说明理由。

正确答案

（1）由圆方程配方得（x+1）2+（y－3）2=9，

圆心为C（－1，3），

半径为 r = 3，

若 l与C相切，

则得=3，

∴（3m－4）2=9（1+m2），

∴m =．

（2）假设存在m满足题意。

由

（m2+1）y2－（8m+6）y+16=0，

由△=（8m+6）2－4（m2+1）·16>0，

得m>，

设A（x1，y1），B（x2，y2），

则y1+y2=，y1y2=．

=x1x2+y1y2

=（3－my1）（3－my2）+y1y2

=9－3m（y1+y2）+（m2+1）y1y2

=9－3m·+（m2+1）·

=25－=0

24m2+18m=25m2+25，m2－18m+25=0，

∴m=9±2，适合m>，

∴存在m=9±2符合要求．

解析

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知识点

平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．直线l过点（，0）且与圆交于A.B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为（）

A

B或

C

D或

正确答案

D

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知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

19. 已知椭圆E：的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点。

（1）求圆C的方程；

（2）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；

（3）在平面上是否存在定点P，使得？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

解析

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知识点

圆的标准方程直线与圆相交的性质椭圆的几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9.过点(，0)引直线l与曲线y=相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为　　　　。

正确答案

解析

如图，

∵S△AOB=|OA|·|OB|·sin∠AOB=sin∠AOB≤，

当∠AOB=时，S△AOB面积最大，

此时点O到AB的距离d=.

设AB的方程为y=k(x－)(k<0)，即kx－y－k=0，

由d==，得k=－.

知识点

直线的倾斜角与斜率直线与圆相交的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

3.直线y=kx+3与圆(x-)2+(y-3)2=相交于M，N两点，若|MN|≥，则k的取值范围是（）

A[-，0]

B[-，]

C[-，]

D[-，0]

正确答案

B

解析

如图，设圆的圆心为C(，3)，

作CD⊥MN于点D，则|CD|=，|MN|=2|MD|==≥

即≥，解得-≤k≤，故选B.

知识点

直线与圆相交的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知圆面C：(x－a)2+y2≤a2－1的面积为S，平面区域D：2x+y≤4与圆面C的公共区域的面积大于S，则实数a的取值范围是（）

A(-∞，2)

B(-∞，2]

C(-∞，-1)∪(1，2)

D(-∞，-1)∪(1，2]

正确答案

C

解析

依题意并结合图形（图略）分析可知

圆面C：(x-a)2+y2≤a2－1的圆心(a，0)应在不等式2x+y≤4表示的平面区域内

则有，由此解得a<-1或1<a<2.

因此实数a的取值范围是(-∞，-1)∪(1，2).

知识点

二元一次不等式（组）表示的平面区域直线与圆相交的性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.若圆C：(x－2a)2+(y－a)2=(a+1)2与两个坐标轴均有公共点，则实数a的取值范围是（）

A(－∞，－]

B[－，1]

C[－，1]

D[－，－]

正确答案

C

解析

要圆C与两个坐标轴均有公共点，只需要圆心到两个坐标轴的距离小于等于或半径，

即，得－≤a≤1，故选C.

知识点

直线与圆相交的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.若不等式≤k(x+2)－的解集为区间[a，b]，且b－a=2，则k= 。

正确答案

解析

令y1=，y2=k(x+2)－

其中－3≤x≤3，在同一个坐标系中作出y1，y2的图象，如图所示.

由≤k(x+2)－的解集为[a，b]，且b－a=2，

结合图象知b=3，a=1，即直线y2与圆y1的交点坐标为(1，).

又因为点(－2，－)在直线y2上，所以k==.

知识点

直线与圆相交的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20.如图，轴，点M在DP的延长线上，且．当点P在圆上运动时。

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）过点的切线交曲线C于A，B两点，求△AOB面积S的最大值和相应的点T的坐标。

正确答案

解:（1）设点的坐标为，点的坐标为，

则，，所以，， ①

因为在圆上，所以 ②

将①代入②，得点的轨迹方程C的方程为．

（2）由题意知，．

当时，切线的方程为，点A、B的坐标分别为

此时，当时，同理可得；

当时，设切线的方程为

由

得③

设A、B两点的坐标分别为，则由③得：

．

又由l与圆相切，得即

所以

因为且当时，|AB|=2，

所以|AB|的最大值为2

依题意，圆心到直线AB的距离为圆的半径，

所以面积，

当且仅当时，面积S的最大值为1，

解析

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知识点

直线与圆相交的性质直线与圆锥曲线的综合问题相关点法求轨迹方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

18．设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

当时,且，

而由,得

所以

而则为该圆在（1，1）处切线的斜率，

又且故.

故选A.

知识点

数列的极限数列与解析几何的综合直线与圆相交的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14. 已知过点的直线被圆所截得的弦长为10，求直线的方程为。

正确答案

【答案】x－3y－6=0 ，

解析

由已知可得圆的半径为5，而弦长刚好等于直径，所以直线经过圆心，由直线方程的两点式方程可以求出直线的方程为x－3y－6=0。

考查方向

本题主要考查了圆的一般方程，点到直线的距离。

解题思路

本题可以将已知条件转化到弦长和半径以及圆心到直线的距离所构成的直角三角形中去利用勾股定理算出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离构造一个关于斜率的方程解出即可。

易错点

本题不知道将已知转化到弦长和半径以及圆心到直线的距离所构成的直角三角形中去求解。

知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知点M（－1，0），N（1，0），曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N距离的倍．

（Ⅰ）求曲线E的方程；

（Ⅱ）已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．若CD的斜率为－1，求直线CD的方程．

正确答案

（1）；

（2）y=-x,或y=-x+3．

解析

（1）直接按照步骤来求

（2）要注意对参数的讨论．

⑴解：设曲线上任意一点坐标为，

由题意，，

整理得，即为所求.

⑵解：由题知，且两条直线均恒过点，

设曲线的圆心为，则，

线段的中点为，则直线：,

设直线：，

由，解得点，

由圆的几何性质，，而，，，解之得，或，

所以直线的方程为，或.

考查方向

本题考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，属于高考中的高频考点．

解题思路

解题步骤如下：

1、利用已知求解。

2、联立直线与圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

直线的一般式方程直线与圆相交的性质直接法求轨迹方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线与圆交于两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）存在N

解析

试题分析：本题是直线与圆的位置关系的常见题型，运算量较大。此类问题往往要用到韦达定理，设而不求等方法技巧，把几何关系转化为代数运算。

（Ⅰ）设圆心，

则（舍去）．

所以圆的标准方程为．

（Ⅱ）当直线轴，在轴正半轴上任一点，都可使轴平分；

当直线斜率存在时，

设直线方程为，

联立圆的方程和直线的方程得，

，

故，

若轴平分，则

．

当点的坐标为时，能使得成立．

考查方向

本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等基础知识．考查运算能力和数形结合能力．难度中等。

解题思路

本题主要考查圆的标准方程、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，

解题步骤如下：根据直线与圆相切的定义，求出圆方程；由直线与圆的位置关系，建立方程组，结合韦达定理，和斜率关系，得出结果。

易错点

第一问易忽视这一条件；

第二问不能理解“若轴平分，则”这一条件。

知识点

圆的标准方程直线与圆的位置关系直线与圆相交的性质

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易错点

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考查方向

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易错点

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