- 用样本估计总体
- 共1456题
为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）
（Ⅰ）在答题卡上的表格中填写相应的频率；
（Ⅱ）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少；
（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。
正确答案
解:（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，频率=组距
（Ⅱ）0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在
（Ⅲ）
解:（Ⅰ）根据频率分布直方图可知，频率=组距
（Ⅱ）0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在
（Ⅲ）
随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图．
(1)计算甲班的样本方差；
(2)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．
正确答案
（1）
试题分析：（1）由平均数的计算公式
试题解析：(1)
甲班的样本方差s2＝
(2)设“身高为176cm的同学被抽中”为事件A.
从乙班10名同学中抽取两名身高不低于173cm的同学有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件：(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)．所以P(A)＝
某高校从今年参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为
（1）求
（2）为了选拔出更加优秀的学生，该高校决定在第三、四、五组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行第二轮考核，分别求第三、四、五组参加考核的人数；
（3）在（2）的前提下，高校决定从这6名学生中择优录取2名学生，求2人中至少有1人是第四组的概率．
正确答案
（1）
试题分析：（1）由
试题解析：
（2)第三组取3人,第四组取2人,第五组取1人, 6分
(3)从这6名学生中取2名学生的取法总数n=15，2人中至少有1人来自第四组的取法m=9,记事件A“所取2人中至少有1人来自第四组”，则
（本小题12分）某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B类工人）.现用分层抽样方法（按A类，B类分二层）从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力（生产能力指一天加工的零件数）.从A类工人中抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2
表1：
表2：
（1）先确定
（2）分别估计
正确答案
解：（1）
从直方图可以判断：
(2)A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8。
试题分析：（1）根据随机抽样中各个个体被抽到的可能性均相等，可以得出甲、乙两工人分别被抽到的概率，再根据独立事件概率的计算公式求得结果；
（2）①利用分层抽样的思想确定出A类工人和B类工人分别被抽查到的人数，然后根据统计表格利用方程确定出x，y的值，完成频率分布直方图，通过频率分布直方图判断出A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小；
②利用频率分布直方图各组小长方形上端的中点横坐标作为该组的生产能力估计值，各组的频率值作为近似的概率值利用均值的计算公式估算出他们的生产能力平均数．
解：（1）
频率分布直方图如下：
从直方图可以判断：
(2)A类工人生产能力的众数、 B类工人生产能力的众数的估计值为115，135；
A类工人生产能力的中位数、B类工人生产能力的中位数的估计值为121，134.6
A类工人生产能力的平均数、B类工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8。
点评：易错点就是对于均值的求解不知道如何结合图像来求解。解决该试题的关键是理解分层抽样法以及频率分布直方图和数据的平均值的的求解公式。
、一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是 ，
正确答案
62.8,3.6
略
(2014·黄冈模拟)某制造商3月生产了一批乒乓球,随机抽样100个进行检查,测得每个球的直径(单位：mm),将数据分组如表：
(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数),并在图中画出频率分布直方图.
(2)若以上述频率作为概率,已知标准乒乓球的直径为40.00mm,试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03mm的概率.
(3)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值(例如,区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).
正确答案
(1)频率分布表及频率分布直方图如下：
(2)误差不超过0.03mm,即直径落在[39.97,40.03]范围内,其概率为0.20+0.50+0.20=0.90.
(3)整体数据的平均值约为39.96×0.10+39.98×0.20+40.00×0.50+40.02×0.20≈40.00(mm).
为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h)．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
(1) 分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2) 根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？
正确答案
（1）A药的疗效更好（2）A药的疗效更好
(1) 设A药观测数据的平均数为x，B药观测数据的平均数为y.由观测结果可得
由以上计算结果可得x>y, 因此可看出A药的疗效更好．
(2) 由观测结果可绘制如下茎叶图：
从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有
（12分）某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是6。
(1)样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产 品的个数是多少？
(2)估计该批产品净重的平均值。
(3)若从净重小于100克的样品中抽取两个产品，求两个样品净重都在[98，100)的概率。
正确答案
16.解：1）∵样本中产品净重小于100克的频率为（0.05+0.1）×2=0.3--（1分）
样本中产品净重小于100克的个数是6
∴样本的总数为
又样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为
（0.1+0.15+0.125）×2=0.75
∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是
20×0.75=15------------------------------------------（3分）
2）
=101.3
∴该批产品净重的平均值为101.3---------------（6分）（列式2分计算1分）
3)样本中产品净重小于100克的个数是6，
其中净重在[96，98) 样品有20*0.05*2=2，标记为a,b-------------------（7分）
净重在[98，100) 样品有20*0.1*2=4，标记为1,2,3,4----------------------（8分）
设“两个样品净重都在[98，100)”为事件A
从净重小于100克的样品中抽取两个产品所有可能情况为
共5+4+3+2+1=15种，且每种情况出现是等可能的。
又符合事件A的情况有
答：两个样品净重都在[98，100)的概率为
略
某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出七名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是83，
（1）求x和y的值；
（2）计算甲班七名学生成绩的方差；
（3）从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班至少有一名学生的概率.
参考公式：方差
正确答案
（1）x=5,y=3；（2）40；（3）
试题分析：(1)根据平均数计算公式可求
试题解析：（1）由
（2）
（3）成绩在90分以上的学生共有5名，其中甲班有两名，记为a,b,乙班3名，记为1,2,3，从中任取两名，基本事件为有
某中学从参加高一年级上期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六段
（Ⅰ）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；
(Ⅱ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一人，求选到第一名学生的概率（第一名学生只一人）.
正确答案
（1）
（I）60及60分以上对应的区间有[60,70],[70,80],[80,90],[90,100]对应这四个区间上矩形的面积和就是所求答案。
（II）先求出70分（包括70分）的学生有36人，所以选到第一名的概率为
解：（Ⅰ）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为 
所以，抽样学生成绩的合格率是
（Ⅱ）
所以从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选一人，
选到第一名的概率
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