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题型:填空题
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填空题 · 5 分

观察等式:,根据以上规律,写出第四个等式为:              。

正确答案

解析

略。

知识点

错位相减法求和
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题型:简答题
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简答题 · 15 分

已知:数列满足

(1)求数列的通项

(2)若,求数列的前n项的和

正确答案

见解析。

解析

(1)n=1时,

时,      (i)

  (ii)

(i)-(ii)得 , 

适合上式   

(2)

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

设数列满足

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前

正确答案

见解析。

解析

(1)因为,        ①

所以当时,

时,,        ②

①-②得,

所以

因为,适合上式,

所以

(2)由(1)得

所以

所以

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知各项均为正数的数列{an}前n项和为Sn,(p – 1)Sn = p2 – an,n∈N*,p > 0且p≠1,数列{bn}满足bn = 2logpan

(1)求an,bn

(2)若p =,设数列的前n项和为Tn,求证:0 < Tn≤4;

(3)是否存在自然数M,使得当n > M时,an > 1恒成立?若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)由(p – 1)Sn = p2 – an (n∈N*)                   ①

由(p – 1)Sn – 1 = p2 – an – 1                                 ②

① – ②得(n≥2)

∵an > 0 (n∈N*)

又(p – 1)S1 = p2 – a1,∴a1 = p

{an}是以p为首项,为公比的等比数列

an = p

bn = 2logpan = 2logpp2 – n

∴bn = 4 – 2n

(2)证明:由(1)知,bn = 4 – 2n,an = p2 – n

又由条件p =得an = 2n – 2

∴Tn =                   ①

                        ②

① – ②得

= 4 – 2 ×

= 4 – 2 ×

∴Tn =

Tn – Tn – 1 =

当n > 2时,Tn – Tn – 1< 0

所以,当n > 2时,0 < Tn≤T3 = 3

又T1 = T2 = 4,∴0 < Tn≤4。

(3)解:若要使an > 1恒成立,则需分p > 1和0 < p < 1两种情况讨论

当p > 1时,2 – n > 0,n < 2

当0 < p < 1时,2 – n < 0,n > 2

∴当0 < p < 1时,存在M = 2

当n > M时,an > 1恒成立。

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数的图象经过点,记

(1)求数列的通项公式;

(2)设,若恒成立,求m的最小值.

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意得,解得,            

      

(2)由(1)得

     ①

 ②

①-②得

.

,       

,则由

的增大而减小,的增大而增大。

时,

恒成立,             

知识点

对数的运算性质等差数列的基本运算错位相减法求和数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列的前3项和为6,前8项和为-4。

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前n项和

正确答案

见解析

解析

(1)设{an}的公差为d ,由已知得

解得a1=3,d=-1

故an=3-(n-1)(-1)=4-n

(2)由(1)的解答得,bn=n·qn-1,于是

Sn=1·q0+2·q1+3·q2+……+(n-1)·qn-1+n·qn.

若q≠1,将上式两边同乘以q,得

qSn=1·q1+2·q2+3·q3+……+(n-1)·qn+n·qn+1.

将上面两式相减得到

(q-1)Sn=nqn-(1+q+q2+……+qn-1)

=nqn-

于是Sn=

若q=1,则Sn=1+2+3+……+n=

所以,Sn=

知识点

等差数列的基本运算错位相减法求和
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知Sn是数列的前n项和,且.

(1)求的值;

(2)求数列的通项

(3)设数列满足,求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

(1)由 ,

(2)当时,由  ① ,得  ②

①-②得,化简得

).

,……,

以上()个式子相乘得

,∴

(3)∵

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知数列是等差数列, ;数列的前n项和是,且

(1)求数列的通项公式;

(2) 求证:数列是等比数列;

(3) 记,求的前n项和

正确答案

见解析。

解析

(1)设的公差为,则:

,∴,∴

(2)当时,,由,得

时,

,即

是以为首项,为公比的等比数列,

(3)由(2)可知:

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明错位相减法求和
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

等差数列中,,前项和为,等比数列各项均为正数,,且的公比

(1)求

(2)记=,求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

(1)由已知可得

解直得,(舍去),

     

(2)由(1)得,

由已知得         ①

①-②得

 

知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和等差数列与等比数列的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数f(x)=x2+x,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上。

(1)求数列{an}的通项公式an

(2)令,求数列{bn}的前n项和Tn

(3)令cn=+,证明:2n<c1+c2+…+cn<2n+

正确答案

见解析。

解析

(1)∵点(n,Sn)(n∈N*)均在函数y=f(x)的图象上,

∴当n=1时,

当n≥2时,an=Sn﹣Sn﹣1=

当n=1时,也适合上式,

因此

(2)由(1)可得:=

∴Tn=

两式相减得=1+=3

(3)证明:由cn==+>2=2,

∴c1+c2+…+cn>2n。

又cn=+=2+

∴c1+c2+…+cn=2n+[()+()+…+()]=2n+<2n+

∴2n<c1+c2+…+cn<2n+成立。

知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与不等式的综合
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