错位相减法求和
共37题

· 错位相减法求和

错位相减法求和
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题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知数列的前n项和（其中c，k为常数），且2=4，6=83

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求数列的前n项和Tn．

正确答案

（Ⅰ）当时，则

，，，

∴c=2.∵a2=4，即，解得k=2，

∴（n>1）当n=1时，

综上所述

（Ⅱ），

则

（1）（2）得

解析

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知，且，，数列、满足，，，。

（1）求证数列是等比数列；

（2）已知数列满足，试建立数列的递推公式(要求不含)；

（3）若数列的前项和为，求。

正确答案

见解析

解析

（1）∵，

∴,.

∵，，

∴

。

又，

∴数列是公比为3，首项为的等比数列。

（2）依据（1）可以，得。

于是，有，即。

又，则.

因此，数列的递推公式是。

（3）由（2）可知，数列是公差为1，首项为的等差数列，于是，。

故。

因此，，

，

将上述两个等式相减，得，

可化简为。

所以。

知识点

等比数列的判断与证明错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

在数列中，已知.

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：数列是等差数列；

（3)设数列满足，求的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

（1）∵

∴数列｛｝是首项为，公比为的等比数列，

∴.…………………………………………………………………………3分

（2）∵…………………………………………………………………… 4分

∴.……………………………………………………………… 5分

∴，公差d=3

∴数列是首项，公差的等差数列.…………………………………………6分

（3）由（1）知，，（n）

∴.………………………………………………………………7分

∴， ①

于是 ②

…………………………………………………………………………………………… 9分

两式①-②相减得

=.………………………………………………………………………11分

∴ .………………………………………………………12分。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的判断与证明错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知数列的前项和为，（），且，.

（1）求的值，并证明是等比数列；

（2）设，，求.

正确答案

见解析

解析

解: （1）令 ,得，

化简得:

由题意得

整理得：

是等比数列

（2）由（1）知，

知识点

等比数列的判断与证明错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

巳知等比数列{an}的首项和公比都为2，且a1，a2分别为等差数列{bn}中的第一、第三项。

（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（2）设Cn=，求{cn}的前n项和Sn。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵等比数列{an}的首项和公比都为2，

∴

∵a1，a2分别为等差数列{bn}中的第一、第三项

∴b1=2，b3=4

∴bn=n+1；

（2）设Cn===

∴Sn===。

知识点

由数列的前几项求通项错位相减法求和等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．设等差数列的公差为，点在函数的图象上．

（1）证明：数列为等比数列；

（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前项和.

正确答案

解析

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知识点

指数函数的图像与性质等比数列的判断与证明错位相减法求和数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．已知为等差数列，且，数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求证：。

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的基本运算等差数列的前n项和及其最值错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．已知：对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中

（1）若数列的通项公式（），求：数列的通项公式；

（2）若数列的首项是1，且满足，

①设，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

②求：数列的通项公式及前项和。

正确答案

解：（1）依题意，　　　∴

（2）①由

∵，∴，且，

故是首项为，公差为的等差数列　　∴　　

∵，∴

∴ ⑴　　　 ⑵
　　⑴－⑵得　

∴　

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的判断与证明错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 13 分

19．已知为等差数列，且，数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，为数列的前项和，求证：。

正确答案

解析

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知识点

等差数列的基本运算等比数列的基本运算错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 18 分

22．若和分别表示数列和前项的和，对任意正整数,，

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，求的前项和；

（3）设集合，，若等差数列的任一项，是中的最大数，且，求的通项公式。

正确答案

（1）∵，

当时，

作差得：，

又，

所以

（2）

（3）对任意，

，故可得

∵是中最大的数，

∴

设等差数列的公差为，则

∵，得

而是一个以为公差的等差数列，

∴

解析

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

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