热门试卷

证明：（Ⅰ）∵AB为切线，AE为割线，∴AB2=AE•AD，

又∵AB=AC，∴AC2=AE•AD，∴，

又∠CAD=∠EAC，∴△ACD∽△AEC，∴∠CEA=∠DCA； 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）有，

∵∠EAC=∠DAC，

∴△ADC∽△ACE，∴∠ADC=∠ACE，∵∠ADC=∠EGF，

∴∠EGF=∠ACE，

∴GF∥AC． 10分

（Ⅰ）证明：如图，连接OC，

∵OA=OB，CA=CB，∴OC⊥AB，∴AB是⊙O的切线．

（Ⅱ）∵ED是直径，∴∠ECD=90°，

在Rt△BCD中，∵tan∠CED=，∴．

∵AB是⊙O的切线，

∴∠BCD=∠E．

又∵∠CBD=∠EBC，

∴△CBD∽△EBC，∴==．

设BD=x，BC=2x，

又BC2=BD•BE，∴（2x）2=x•（x+12）．

解得：x1=0，x2=4，

∵BD=x＞0，∴BD=4．

∴OA=OB=BD+OD=4+6=10．

解：如图在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，

由三角形的外心的性质可知：∠BOC=2∠A=120°，

由三角形的垂心性质可知：∠BHC=180°-∠A=120°，

所以∠BOC=∠BHC，所以B、C、H、O四点共圆，∠OBH=∠OCH，…（3分）

又因为OB=OC，BK=CH，所以△BOK≌△COH，

因为∠BOK=∠COH，OK=OH，所以∠KOH=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30°，…（6分）

观察△OKH，有：=，则KH=OH，

又因为BM=CN，BK=CH，所以KM=NH，所以MH+NH=MH+KM=KH=OH，

故=．…（8分）

证明：因为CD=AC，所以∠D=∠CAD．…（2分）

因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB．…（4分）

因为∠EBC=∠CAD，所以∠EBC=∠D．…（6分）

因为∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠EBC，…（8分）

所以∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC．…（10分）