热门试卷

（1）证明：连结OP，OM，

∵AP与⊙O相切于点P，∴OP⊥AP，∵M是⊙O的弦BC的中点，∴OM⊥BC，

∴∠OPA+∠OMA=180°，∵圆心O在∠PAC的内部，∴四边形APOM的对角互补，

∴A、P、O、M四点共圆…（5分）

（2）解：由（1）得A、P、O、M四点共圆，∴∠OAM=∠OPM，

由（1）得OP⊥AP，∵圆心O在∠PAC的内部，∴∠OPM+∠APM=90°，

∴∠OAM+∠APM=90°…（10分）

（Ⅰ）证明：∵AE是⊙O的切线，∴∠DAE=∠ABD，

∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°，

∴∠ABD+∠ADB=90°，

又∠ADE+∠DAE=90°，

∴∠ADB=∠ADE．

∴DA平分∠BDE．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得：△ADE∽△BDA，∴，

∵AB=4，AE=2，∴BD=2AD．

∴∠ABD=30°．

∴∠DAE=30°．

∴DE=AEtan30°=．

由切割线定理可得：AE2=DE•CE，

∴解得CD=，

又AD=，∠ADC=120°，

∴由余弦定理可得AC2=（）2+（）2-2××cos120°=16，

∴AC=4．

解∵直线AB切⊙O于点A，

∴∠BAD=∠C=30°，

∴∠ADC=50°．

故答案为：50°．

（1）因为AC为⊙O的切线，所以∠B=∠EAC

因为DC是∠ACB的平分线，所以∠ACD=∠DCB

所以∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，即∠ADF=∠AFD，

又因为BE为⊙O的直径，所以∠DAE=90°．

所以．

（2）因为∠B=∠EAC，所以∠ACB=∠ACB，所以△ACE∽△BCA，所以，

在△ABC中，又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=30°，Rt△ABE中，

解：（Ⅰ）连接OA、AD．

∵AC是圆O的切线，OA=OB，

∴OA⊥AC，∠OAB=∠OBA=∠DAC，…（2分）

又AD是Rt△OAC斜边上的中线，

∴AD=OD=DC=OA，

∴△AOD是等边三角形，∴∠AOD=60°，

故∠ABC=∠AOD=30°．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，

在Rt△AEB中，∠EAB=∠ADB=60°，

∴EA=AB=×BD=BD，

EB=AB=×BD=BD，…（7分）

由切割线定理，得EA2=EF×EB，

∴BD2=EF×BD，

∴BD=4EF．…（10分）

解：如图所示，连接OA，OB，则OA⊥PA，OB⊥PB．

故∠AOB=110°，∴∠ACB=∠AOB=55°．

故答案为：55°．