圆的切线的性质及判定定理
共102题

圆的切线的性质及判定定理
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题型：简答题

简答题

如图，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D、E．求∠DAC的度数与线段AE的长．

正确答案

解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，

因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，

所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；（5分）

又因为∠ACB=90°，

得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，

从而∠ABE=30°，

于是．（10分）

解析

解：如图，连接OC，因BC=OB=OC=3，

因此∠CBO=60°，由于∠DCA=∠CBO，

所以∠DCA=60°，又AD⊥DC得∠DAC=30°；（5分）

又因为∠ACB=90°，

得∠CAB=30°，那么∠EAB=60°，

从而∠ABE=30°，

于是．（10分）

题型：填空题

填空题

如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的大小为______．

正确答案

99°

解析

解：如图，连接OB，OC，AC，

∵EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是切点，

∠E=46°，∠DCF=32°，

∴∠DAC=∠DCF=32°，

∠BAC=（360°-90°-90°-46°）=67°，

∴∠BAD=32°+67°=99°，

故答案为：99°．

题型：填空题

填空题

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上；如果∠P=50°，那么∠ACB等于______．

正确答案

65°

解析

解：∵PA、PB是⊙O的切线，

∴∠PAB=∠PBA．

∵∠P=50°，∴=65°．

由弦切角定理可得：∠C=∠PAB=65°．

故答案为：65°．

题型：简答题

简答题

如图，点A，B，C在圆O上，AC是圆O的切线，求证：∠BAC=∠BDA

正确答案

证明：连接BE，AE，OA，则AE⊥AB，∠OAB=∠OBA，∠BDA=∠E，

∵AC是圆O的切线，

∴OA⊥AC，

∴∠E=∠BAC，

∴∠BAC=∠BDA

解析

证明：连接BE，AE，OA，则AE⊥AB，∠OAB=∠OBA，∠BDA=∠E，

∵AC是圆O的切线，

∴OA⊥AC，

∴∠E=∠BAC，

∴∠BAC=∠BDA

题型：单选题

单选题

如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=（　　）

A15°

B30°

C45°

D60°

正确答案

解析

解：∵圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3

∴∠BAC=30°，

∠B=60°，

∵过C作圆的切线l

∴∠B=∠ACD=60°，

∵过A作l的垂线AD，垂足为D

∴∠DAC=30°，

故选B．

题型：简答题

简答题

如图，AE是的⊙O切线，A是切点，AD⊥OE于点D，割线EC交⊙O于B，C两点．

（1）证明：O，D，B，C四点共线；

（2）设∠DBC=50°，∠ODC=30°，求∠OEC的大小．

正确答案

（1）证明：连结OA，则OA⊥EA．

由射影定理得EA2=ED•EO．

由切割线定理得EA2=EB•EC，

∴ED•EO=EB•EC，即，

又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，

∴∠EDB=∠OCE．

∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）

（2）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，

结合（1）得：∠OEC=180°-∠OCB-∠COE

=180°-∠OBC-∠DBE

=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）

=∠DBC-∠ODC=20°．

∴∠OEC的大小为20°．…（10分）

解析

（1）证明：连结OA，则OA⊥EA．

由射影定理得EA2=ED•EO．

由切割线定理得EA2=EB•EC，

∴ED•EO=EB•EC，即，

又∠OEC=∠OEC，∴△BDE∽△OCE，

∴∠EDB=∠OCE．

∴O，D，B，C四点共圆．…（6分）

（2）解：连结OB．因为∠OEC+∠OCB+∠COE=180°，

结合（1）得：∠OEC=180°-∠OCB-∠COE

=180°-∠OBC-∠DBE

=180°-∠OBC-（180°-∠DBC）

=∠DBC-∠ODC=20°．

∴∠OEC的大小为20°．…（10分）

题型：单选题

单选题

如图PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R=（　　）

正确答案

解析

解：由于PA是圆O的切线，切点为A，PA=2，PB=1，PBC为圆的割线，

由切割线定理得，PA2=PB•PC，

即PC=4，BC=3，

在直角三角形ABP中，AB==，

在直角三角形ABC中，AC=，

∴圆O的半径R为．

故选D．

题型：简答题

简答题

选修4-1几何证明选讲

如图，已知⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，连结AD、BD、OC、OD，且OD=5．

（Ⅰ）若sin∠BAD=，求CD的长；

（Ⅱ）若∠ADO：∠EDO=4：1，求扇形OAC（阴影部分）的面积（结果保留π）．

正确答案

解：（I）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED，∠ADB=90°．

在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，∴=6．

由勾股定理可得==8．

∵，∴=4.8．

∴CD=2ED=9.6．

（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，∵OA=OD，∴∠OAD=4x．

∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．

在Rt△EOD中，∠EOD+∠ODE=，∴8x+x=，解得x=．

∴，

∴∠AOC=2∠ADC=．

∴扇形OAC（阴影部分）的面积S==．

解析

解：（I）∵⊙O的直径AB垂直于弦CD于E，∴CE=ED，∠ADB=90°．

在Rt△ABD中，∵sin∠BAD=，∴=6．

由勾股定理可得==8．

∵，∴=4.8．

∴CD=2ED=9.6．

（II）设∠ODE=x，则∠ADO=4x，∵OA=OD，∴∠OAD=4x．

∴∠EOD=∠OAD+∠ODE=8x．

在Rt△EOD中，∠EOD+∠ODE=，∴8x+x=，解得x=．

∴，

∴∠AOC=2∠ADC=．

∴扇形OAC（阴影部分）的面积S==．

题型：单选题

单选题

若图中，PA切⊙O于点A，PCB交⊙O于C、B两点，且PCB过点O，AE⊥BP交⊙O于E，则图中与∠CAP相等的角的个数是（　　）

正确答案

解析

解：由题意，PCB过点O，AE⊥BP交⊙O于E，

∴AC=CE，

∴∠CAE=∠CEA=∠ABC，

∵PA切⊙O于点A，

∴∠CAP=∠ABC，

∴∠CAE=∠CEA=∠ABC=∠CAP，

故选：C．

题型：简答题

简答题

（2016•南昌一模）如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．

（1）求AB的长；

（2）求．

正确答案

解：（1）根据弦切角定理，

知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，

∴△ABC∽△DBA，则，

故．…（5分）

（2）根据切割线定理，

知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，

两式相除，得（*）

由△ABC∽△DBA，

得，，

又，由（*）得．…（10分）

解析

解：（1）根据弦切角定理，

知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，

∴△ABC∽△DBA，则，

故．…（5分）

（2）根据切割线定理，

知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，

两式相除，得（*）

由△ABC∽△DBA，

得，，

又，由（*）得．…（10分）

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