- 圆的切线的性质及判定定理
- 共102题
如图，AB为圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC．
正确答案
解：连接OD，
∵DC是圆O的切线，OD为圆半径，
∴OD⊥DC，
∵DA=DC，
∴∠A=∠C，设∠A=∠C=α，
∵△ADO中，OA=OD
∴∠ODA=∠A=α，
∴∠ODC=∠ODA+∠A=2α，
∴在Rt△ODC中，∠ODC+∠C=3α=90°，
∴∠C=α=30°
∴Rt△ODC中，OC=2OD=2OB
∴BC=OB=
解析
解：连接OD，
∵DC是圆O的切线，OD为圆半径，
∴OD⊥DC，
∵DA=DC，
∴∠A=∠C，设∠A=∠C=α，
∵△ADO中，OA=OD
∴∠ODA=∠A=α，
∴∠ODC=∠ODA+∠A=2α，
∴在Rt△ODC中，∠ODC+∠C=3α=90°，
∴∠C=α=30°
∴Rt△ODC中，OC=2OD=2OB
∴BC=OB=
正确答案
110°
解析
解：∵∠DAB=∠ACD，∠BAC=∠DAB+∠CAD=70°，
从而∠ACD+∠CAD=70°，
∴∠ADC=180°-70°=110°．
故答案为：110°．
已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+
正确答案
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．
连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．
设圆半径为r，则r+
外接圆的面积为4π．
故答案为4π．
解析
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．
连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．
设圆半径为r，则r+
外接圆的面积为4π．
故答案为4π．
已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，以BC为直径的圆交AB于D，则BD的长为（ ）
A4
B
C
D
正确答案
解析
解：Rt△ABC中，
∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC=
∵以BC为直径的圆交AB于D，
∴AC是圆的切线，
∴AC2=AD•AB，
∴AD=
∴BD=5-
故选：D．
正确答案
70°
解析
解：如图，PE是圆的切线，∴∠PEB=∠PAC，
∵AE是∠APE的平分线，∴∠EPC=∠APC，根据三角形的外角与内角关系有：∠EDC=∠PEB+∠EPC；∠ECD=∠PAC+∠APC，
∴∠EDC=∠ECD，∴△EDC为等腰三角形，
又∠AEB=40°，∴∠EDC=∠ECD=70°，即∠PCE=70°，
故答案为：70°．
正确答案
解析
解：∵∠A=70°，∠B=60°，
∴∠C=50°．
∵此圆与直线BC相切于C点，
∴
故选C．
正确答案
解析
证明：∵AE=AC，AB为直径，
∴
由于同一个圆中，等弧所对的圆周角相等
∴∠OAC=∠OAE．
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∴∠POC=∠OAC+∠OCA=∠OAC+∠OAC=∠EAC．
又∵EACD四点共圆，
∴∠EAC=∠PDE，
∴∠PDE=∠POC．
∠BAD，则∠BAD=（ ）
正确答案
解析
解：∵AC是圆O的切线
∴∠DAE=∠B
∵AE平分∠BAD，BD⊥AC
∴3∠B=90°
∴∠B=30°
∴∠BAD=60°
故选D．
如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上位于AB异侧的两点，证明：∠OCB=∠D．
正确答案
证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
解析
证明：∵OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∵∠B=∠D，
∴∠OCB=∠D．
正确答案
解析
解：由切割线定理得：DB•DA=DC2，即DB（DB+BA）=DC2，
DB2+3DB-28=0，
得DB=4．
∵∠A=∠BCD，
∴△DBC∽△DCA，
∴
AC=
则答案为：
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