圆的切线的性质及判定定理
共102题

圆的切线的性质及判定定理
共102题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

已知，如图，在⊙O中，弦BA，CD延长线交于E点，EG与⊙O切于G点，AD延长线交EG于点F，且EF=FG．求证：EF∥BC．

正确答案

解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．

∵EF=FG，

∴EF2=FB•FA

∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE

∴∠BEF=∠EAF

∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF

∴∠BEF=∠ECD．

∴EF∥BC．

解析

解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．

∵EF=FG，

∴EF2=FB•FA

∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE

∴∠BEF=∠EAF

∵A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF

∴∠BEF=∠ECD．

∴EF∥BC．

题型：简答题

简答题

如图，已知AD为⊙O的切线，⊙O的直径是AB=2，弦AC=1，则∠CAD=______度．

正确答案

解：∵AB是圆的直径，

∴∠C=90°；

又AB=2，AC=1，

∴∠B=30°，

∵AD为⊙O的切线，

∴∠CAD=∠B=30°．

故答案为：30°．

解析

解：∵AB是圆的直径，

∴∠C=90°；

又AB=2，AC=1，

∴∠B=30°，

∵AD为⊙O的切线，

∴∠CAD=∠B=30°．

故答案为：30°．

题型：简答题

简答题

（2016•榆林一模）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．

（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；

（Ⅱ）若AC=AP，求的值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，

∴∠BAP=∠C．

又∵∠APD=∠CPE，

∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．

∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，

∴∠ADE=∠AED．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，

∵∠APC=∠BPA，

∵AC=AP，

∴∠APC=∠C

∴∠APC=∠C=∠BAP．

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．

∵BC是圆O的直径，

∴∠BAC=90°．

∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．

∴．

在Rt△ABC中，，即，

∴．

∵在△APC与△BPA中

∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，

∴△APC∽△BPA．

∴．

∴． …（10分）

解析

解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，

∴∠BAP=∠C．

又∵∠APD=∠CPE，

∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．

∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，

∴∠ADE=∠AED．…（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，

∵∠APC=∠BPA，

∵AC=AP，

∴∠APC=∠C

∴∠APC=∠C=∠BAP．

由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．

∵BC是圆O的直径，

∴∠BAC=90°．

∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．

∴．

在Rt△ABC中，，即，

∴．

∵在△APC与△BPA中

∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，

∴△APC∽△BPA．

∴．

∴． …（10分）

题型：填空题

填空题

如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，则AB=______．

正确答案

解析

解：如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，

∵∠PBA=∠DBA．若AD=m，AC=n，

∴由弦切角定理得∠PBA=∠C=∠DBA，

∴△ABD∽△ACB，

∴，

∴AB2=AC•AD=mn，

即．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

（2015春•孝感期末）如图所示，已知半圆的直径AB=6cm，CD是半圆上长为2cm的弦，问：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值吗？若是，试求出这个定角的正弦值；若不是，请说明理由．

正确答案

解：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值．

理由如下，如图所示，连接BC．

∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，

∴∠PBC为定值，

∴∠P=∠ACB-∠PBC=90°-∠PBC，为定值．

∵∠PCD=∠PBA，

∴△PCD∽△PBA，

∴===．

在Rt△PBC中，cos∠P==，

∴sin∠P=．

解析

解：当弦CD在半圆上滑动时，AC和BD延长线的夹角是定值．

理由如下，如图所示，连接BC．

∵CD为定长，虽CD滑动，但的度数不变，

∴∠PBC为定值，

∴∠P=∠ACB-∠PBC=90°-∠PBC，为定值．

∵∠PCD=∠PBA，

∴△PCD∽△PBA，

∴===．

在Rt△PBC中，cos∠P==，

∴sin∠P=．

题型：简答题

简答题

（选做题）如图，设直线l切⊙O于点P，AB为⊙O的任一条不与l垂直的直径，AC⊥l，垂足为点C．

求证：AP平分∠CAB．

正确答案

证明：连接BP，

因为l是⊙O的切线，

所以∠BPD=∠BAP．

又∠BPD+∠APC=90°，

∠APC+∠PAC=90°，

所以∠BPD=∠PAC，

∴∠PAC=∠BAP

即PA平分∠CAB．

解析

证明：连接BP，

因为l是⊙O的切线，

所以∠BPD=∠BAP．

又∠BPD+∠APC=90°，

∠APC+∠PAC=90°，

所以∠BPD=∠PAC，

∴∠PAC=∠BAP

即PA平分∠CAB．

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选选做题）如图，AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点，∠ABC的平分线与⊙O相交于．D已知BC=1，AB=，则AD=______；过B、D分别作⊙O的切线，则这两条切线的夹角θ=______．

正确答案

（或30°）

解析

解：∵AC是⊙O的直径，B是⊙O上一点

∴∠ABC=90°

∵∠ABC的平分线与⊙O相交于D，BC=1，AB=

∴∠C=60°，∠BAC=30°，∠ABD=∠CBD=45°

由圆周角定理可知∠C=∠ADB=60°

△ABD中，由正弦定理可得即=∵∠BAD=30°+45°=75°

∴∠BOD=2∠BAD=150°

设所作的两切线交于点P，连接OB，OD，则可得OB⊥PB，OD⊥PD

即∠OBP=∠ODP=90°

∴点ODPB共圆

∴∠P+∠BOD=180°

∴∠P=30°

故答案为：

题型：单选题

单选题

如图，直线BC切⊙O于B，AB=AC，AD=BD，则∠A=（　　）

A35°

B36°

C40°

D50°

正确答案

解析

解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵AD=BD，∴∠A=∠ABD．

∵直线BC切⊙O于B，∴∠CBD=∠A．

又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°．

∴5∠A=180°，

∴∠A=36°．

故选：B．

题型：填空题

填空题

如图，圆M与圆N交于A、B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C、D两点，延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F，已知BC=5，BD=10，则AB=______；=______．

正确答案

解析

解：根据弦切角定理，

知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，

故△ABC∽△DBA，

则，

故．

根据切割线定理，

知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，

两式相除，

得（*）．

由△ABC∽△DBA，

得，

，

又，

由（*）得．

故答案为：，1

题型：填空题

填空题

（平面几何选讲）如图，CD是圆O的直径，AE切圆O于点B，连接DB，∠D=20°，则∠DBE的大小为______．

正确答案

70°

解析

解：连接CB，则

∵CD是圆O的直径，AE切圆O于点B

∴∠DBE=∠DCB=90°-20°=70°

故答案为：70°

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 弦切角的性质

百度题库 > 高考 > 数学 > 圆的切线的性质及判定定理

扫码查看完整答案与解析