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题型:填空题
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填空题

选做题:如图,点A、B、C是圆O上的点,且AB=4,∠ACB=30°,则圆O的面积等于______

正确答案

16π

解析

解:连接OA,OB,

∵∠ACB=30°,

∴∠AoB=60°,

∴△AOB是一个等边三角形,

∴OA=AB=4,

∴⊙O的面积是16π

故答案为16π

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题型:简答题
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简答题

如图,A、B、C、D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.

(Ⅰ)证明:CD∥AB;

(Ⅱ)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A、B、G、F四点共圆.

正确答案

解:(I)因为EC=ED,

所以∠EDC=∠ECD

因为A,B,C,D四点在同一圆上,

所以∠EDC=∠EBA

故∠ECD=∠EBA,

所以CD∥AB

(Ⅱ)由(I)知,AE=BE,

因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC

从而∠FED=∠GEC

连接AF,BG,△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE

又CD∥AB,∠FAB=∠GBA,

所以∠AFG+∠GBA=180°

故A,B.G,F四点共圆

解析

解:(I)因为EC=ED,

所以∠EDC=∠ECD

因为A,B,C,D四点在同一圆上,

所以∠EDC=∠EBA

故∠ECD=∠EBA,

所以CD∥AB

(Ⅱ)由(I)知,AE=BE,

因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC

从而∠FED=∠GEC

连接AF,BG,△EFA≌△EGB,故∠FAE=∠GBE

又CD∥AB,∠FAB=∠GBA,

所以∠AFG+∠GBA=180°

故A,B.G,F四点共圆

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题型:简答题
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简答题

如图,已知AP是⊙O的切线,P为切点,AC是⊙O的割线,与⊙O交于B,C两点,圆心O在∠PAC的内部,点M是BC的中点.

(Ⅰ)证明A,P,O,M四点共圆;

(Ⅱ)求∠OAM+∠APM的大小.

正确答案

证明:(Ⅰ)连接OP,OM.

因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.

于是∠OPA+∠OMA=180°.

由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形M的对角互补,

所以A,P,O,M四点共圆.

解:(Ⅱ)由(Ⅰ)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.

由(Ⅰ)得OP⊥AP.

由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.

又∵A,P,O,M四点共圆

∴∠OPM=∠OAM

所以∠OAM+∠APM=90°.

解析

证明:(Ⅰ)连接OP,OM.

因为AP与⊙O相切于点P,所以OP⊥AP.

因为M是⊙O的弦BC的中点,所以OM⊥BC.

于是∠OPA+∠OMA=180°.

由圆心O在∠PAC的内部,可知四边形M的对角互补,

所以A,P,O,M四点共圆.

解:(Ⅱ)由(Ⅰ)得A,P,O,M四点共圆,所以∠OAM=∠OPM.

由(Ⅰ)得OP⊥AP.

由圆心O在∠PAC的内部,可知∠OPM+∠APM=90°.

又∵A,P,O,M四点共圆

∴∠OPM=∠OAM

所以∠OAM+∠APM=90°.

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题型:简答题
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简答题

如图,⊙O是△ABC的外接圆,C是优弧AB上一点,设∠OAB=α,∠C=β.

(1)当α=36°时,求β的度数;

(2)猜想α与β之间的关系,并给予证明.

(3)若点C平分优弧AB,且BC2=3OA2,试求α的度数.

正确答案

解:(1)连接OB,则OA=OB;∵∠OAB=36°,∴∠OBA=∠OAB=36°,

∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA,∴∠AOB=180°-36°-36°=108°,

∴β=∠C=∠AOB=54°.                                      …(3分)

(2)α与β之间的关系是α+β=90°;证明:∵∠OBA=∠OAB=α,∴∠AOB=180°-2α,

∵β=∠C=∠AOB,∴β=(180°-2α)=90°-α,∴α+β=90°.…(6分)

(3)∵点C平分优弧AB,

∴AC=BC,

又∵BC2=3OA2,∴AC=BC=OA,

过O作OK⊥AC于K,连接OC,由垂径定理可知:AK=AC=OA,∴∠CAO=30°

易得:∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°,∴△ABC为正三角形,

则:α=∠CAB-∠CAO=30°                                          …(10分)

解析

解:(1)连接OB,则OA=OB;∵∠OAB=36°,∴∠OBA=∠OAB=36°,

∵∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA,∴∠AOB=180°-36°-36°=108°,

∴β=∠C=∠AOB=54°.                                      …(3分)

(2)α与β之间的关系是α+β=90°;证明:∵∠OBA=∠OAB=α,∴∠AOB=180°-2α,

∵β=∠C=∠AOB,∴β=(180°-2α)=90°-α,∴α+β=90°.…(6分)

(3)∵点C平分优弧AB,

∴AC=BC,

又∵BC2=3OA2,∴AC=BC=OA,

过O作OK⊥AC于K,连接OC,由垂径定理可知:AK=AC=OA,∴∠CAO=30°

易得:∠ACB=2∠ACO=2∠CAO=60°,∴△ABC为正三角形,

则:α=∠CAB-∠CAO=30°                                          …(10分)

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题型:填空题
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填空题

已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形,AB∥CD,AB=8cm,CD=6cm,⊙O的半径等于5cm,则梯形ABCD的面积为______

正确答案

7cm2或49cm2

解析

解:连接OA,OB,OC,OD,

过点O作OE⊥AB,E为垂足,OF⊥CD,F为垂足,

E,O,F三点共线.

等腰三角形OAB中,AE==4,

由勾股定理得,OE==3

同理得,OF==4,

当圆心O在梯形ABCD内部时,

EF=3+4=7,

∴梯形ABCD的面积S==49(cm2

当圆心O在梯形ABCD外部时,

EF=4-3=1,

∴梯形ABCD的面积S=(cm2).

故答案为:7cm2或49cm2

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题型:填空题
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填空题

(几何证明选讲选做题)

如图所示,等腰三角形ABC的底边AC长0为6,其外接圆的半径长为5,则三角形ABC的面积是______

正确答案

3

解析

解:∵等腰三角形ABC的底边AC长为6,其外接圆的半径长为5

∴半径,弦心距和弦长组成一个直角三角形,有勾股定理可知弦心距是 =4,

∴三角形的高是5-4=1,

∴三角形的面积是 ×1×6=3,

故答案为:3.

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题型:简答题
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简答题

已知如图,点A,P,B在⊙O上,∠APB=90°,PC平分∠APB,交⊙O于点C.求证:△ABC为等腰直角三角形.

正确答案

证明:由∠APB=90°得AB为直径,∴∠ACB=90°.

∵PC平分∠APB,交⊙O于点C.

∴∠CPA=∠CPB.

由同圆或等圆中圆周角相等则弦也相等,

∴AC=BC,

∴△ABC为等腰直角三角形.

解析

证明:由∠APB=90°得AB为直径,∴∠ACB=90°.

∵PC平分∠APB,交⊙O于点C.

∴∠CPA=∠CPB.

由同圆或等圆中圆周角相等则弦也相等,

∴AC=BC,

∴△ABC为等腰直角三角形.

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题型:填空题
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填空题

如图,已知AB为圆O的直径,AC与圆O相切于点A,CE∥AB交圆O于D、E两点,若AB=6,BE=2,则线段CD的长为______

正确答案

解析

解:设CD=x,则CE=6-x.

∵AC与圆O相切于点A,∴AC⊥AB,AC2=CD•CE=x(6-x).

∴AD2=AC2+CD2=6x.

∵CE∥AB,∴AD=BE,∴6x=4,

∴x=

故答案为:

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题型:填空题
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填空题

如图,在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=40°,则∠B+∠E=______°.

正确答案

220

解析

解:如图,连接CE,

∵五边形ABCDE是圆内接五边形,

∴四边形ABCE是圆内接四边形,

∴∠B+∠AEC=180°,

∵∠CED=∠CAD=40°,

∴∠B+∠E=180°+40°=220°.

故答案为:220.

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题型: 单选题
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单选题

如图,AB=AC,∠ABC,∠ACB的平分线BD,CE分别交△ABC的外接圆D,E,且BD、CE相交于点F,则四边形AEFD是(  )

A圆内接四边形

B菱形

C梯形

D矩形

正确答案

B

解析

解:∵AB=AC,

∴∠ABC=∠ACB;

又∵BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线,

∴∠ABD=∠DBC=∠ECB=∠ACE,

∴AD=CD=BE=AE;

又∵AE=CD,

∴∠ACE=∠DAC,

∴AD∥CE,

同理,可证AE∥BD,

∴四边形AEFD是平行四边形,AD=AE,

根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形,

可得四边形AEFD是菱形.

故选:B.

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