圆周角定理_章节学习

1

题型：单选题

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单选题

如图，点B是⊙O的半径OA的中点，且CD⊥OA于B，则tan∠CPD的值为（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：连接OC、OD；

则∠COB=∠CPD=∠COD；

Rt△OBC中，OC=2OB，则BC=OB；

故tan∠CPD=tan∠COB=．

故选：D

1

题型：简答题

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简答题

如图所示，已知圆的面积为3140平方厘米，求内接正方形ABCD的面积（π取3.14）．

正确答案

解：∵圆的面积为3140平方厘米，

∴圆的半径为10厘米，

∴内接正方形ABCD的边长为•10=20厘米，

∴内接正方形ABCD的面积S=（20）2=2000平方厘米．

解析

解：∵圆的面积为3140平方厘米，

∴圆的半径为10厘米，

∴内接正方形ABCD的边长为•10=20厘米，

∴内接正方形ABCD的面积S=（20）2=2000平方厘米．

1

题型：简答题

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简答题

如图在△ABC的长边AB上取AN=AC，BM=BC，点I为三角形ABC的内心求证：

（1）点I是△MNC的外心；

（2）∠MIN=∠ABC+∠BAC．

正确答案

证明：（1）如图，∵点I是△ABC的内心，

∴∠MBI=∠CBI，BM=MC，BI=BI，

∴△MBI≌△CBI，

则MI=CI；

同理，可证NI=CI，

所以MI=NI=CI，

因此点I是△MNC的外心；

（2）因为△MBI≌△CBI，

所以∠BMI=∠BCI，

同理，可得∠ANI=∠ACI，

又因为∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，

所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．

解析

证明：（1）如图，∵点I是△ABC的内心，

∴∠MBI=∠CBI，BM=MC，BI=BI，

∴△MBI≌△CBI，

则MI=CI；

同理，可证NI=CI，

所以MI=NI=CI，

因此点I是△MNC的外心；

（2）因为△MBI≌△CBI，

所以∠BMI=∠BCI，

同理，可得∠ANI=∠ACI，

又因为∠MIN+∠BMI+∠ANI=180°，

∠ABC+∠BAC+∠ACI+∠BCI=180°，

所以∠MIN=∠ABC+∠BAC．

1

题型：单选题

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单选题

点P到平面四边形ABCD四条边的距离相等，则四边形ABCD是（　　）

A某圆的内接四边形

B某圆的外切四边形

C正方形

D任意四边形两个半圆

正确答案

B

解析

解：过P分别作AB、BC、CD、DA的垂线，垂足分别为E、F、G、H，

∵P到四边形ABCD四条边的距离相等，∴PE=PF=PG=PH．

以P为圆心，PE为半径作圆，如图所示．

∵直线AB经过点E，且AB⊥PE，∴直线AB与圆P相切．

∵PF=PE，∴点F在圆P上．

又∵直线BC经过点F，且BC⊥PF，∴直线BC与圆P相切．

同理可得直线CD、DA都与圆P相切．

由此可得四边形ABCD的各边都与圆P相切，即ABCD是圆P的外切四边形．

故选：B

1

题型：填空题

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填空题

如图，以AB=8为直径的圆与△ABC的两边分别交于E，F两点，∠ACB=60°，则EF=______．

正确答案

4

解析

证明：如图，连接AE，

∵AB为圆的直径，

∴∠AEB=∠AEC=90°

又∵∠ACB=60°

∴CA=2CE

由圆内接四边形性质易得：

∠CFE=∠CBA （由圆内接四边形对角互补，同角的补角相等得到的）

又因为∠C=∠C

∴△CEF∽△CBA

∴

又∵AB=8

∴EF=4．

故答案为：4．

1

题型：单选题

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单选题

在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，那么∠BCD是（　　）

A120°

B100°

C80°

D60°

正确答案

A

解析

解：画出图形，如图所示，

∵⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD=120°，

∴∠A=∠BOD=60°，

∴∠BCD=180°-∠A=120°．

故选：A．

1

题型：填空题

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填空题

如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为______．

正确答案

解析

解：由相交弦定理得，AP×PB=CP×PD，

∴2×2=CP•1，

解得：CP=4，又PD=1，

∴CD=5，

又⊙O的半径为，

则圆心O到弦CD的距离为d===．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点在以O为圆心的同一个圆上．

正确答案

解析

解：连接OE，OF，OG，OH．

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC=CD=DA，且BD⊥AC．

∵E、F、GH分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴OE=OF=OG=OH=AB，

∴E、F、G、H四点在以O为圆心，AB为半径的圆上．

1

题型：简答题

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简答题

如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E．

（1）证明：△ABE∽△ADC；

（2）若△ABC的面积S=AD•AE，求∠BAC的大小．

正确答案

证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，

可得∠BAE=∠CAD

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，

所以∠AEB=∠ACD

故△ABE∽△ADC．

解：（2）因为△ABE∽△ADC，

所以，

即AB•AC=AD•AE．

又S=AB•ACsin∠BAC，

且S=AD•AE，

故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．

则sin∠BAC=1，

又∠BAC为三角形内角，

所以∠BAC=90°．

解析

证明：（1）由已知△ABC的角平分线为AD，

可得∠BAE=∠CAD

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，

所以∠AEB=∠ACD

故△ABE∽△ADC．

解：（2）因为△ABE∽△ADC，

所以，

即AB•AC=AD•AE．

又S=AB•ACsin∠BAC，

且S=AD•AE，

故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．

则sin∠BAC=1，

又∠BAC为三角形内角，

所以∠BAC=90°．

1

题型：填空题

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填空题

如图，已知四边形ABCD是圆内接四边形，且∠BCD=120°，AD=2，AB=BC=1．现有以下结论：

①B，D两点间的距离为；

②AD是该圆的一条直径；

③CD=；

④四边形ABCD的面积S=．

其中正确的个数为______．

正确答案

3

解析

解：①∵∠BCD=120°，∴∠A=60°，

∵AD=2，AB=1，∴BD==，①正确；

∴AB⊥BD，∴AD是该圆的一条直径，②正确；

③3=1+CD2-2CD•（-），∴CD2+CD-2=0，∴CD=1，不正确；

④由③可得四边形是梯形，高为，四边形ABCD的面积S==，正确．

故答案为：3

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