- 圆周角定理
- 共108题
圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠D=______．
正确答案
90°
解析
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形
∴∠A+∠C=∠B+∠D=180°
∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴设∠A=x，则∠B=2x，∠C=3x，
可得∠A+∠C=4x=180°，解之得x=45°
∴∠B=2x=90°，得∠D=180°-∠B=90°
故答案为：90°
国旗上的正五角星的每一个顶角是多少度？
正确答案
解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C，
∠AGF=∠B+∠D=2∠B，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
解析
解：由图可知：∠AFG=∠C+∠E=2∠C，
∠AGF=∠B+∠D=2∠B，
∴∠A+∠AFG+∠AGF=∠A+2∠C+2∠B=5∠A
∴5∠A=180°，
∴∠A=36°．
正确答案
40°
解析
解：连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
又∠BAC=50°，∴∠ABC=90°-∠BAC=40°．
∵
故答案为40°．
（2015春•哈尔滨校级期中）在直径为4的圆内接矩形中，最大的面积是（ ）
正确答案
解析
解：设内接矩形的长和宽为x和y，根据圆内接矩形的性质可知矩形的对角线为圆的直径
故x2+y2=16，
∴x2+y2≥2xy（当且仅当x=y时等号成立）
∴xy≤8
即矩形的面积的最大值值为8
故选D
求证：
（1）P，D，C，E四点共圆；
（2）AP⊥CP．
正确答案
解：（1）∵正△ABC中，
∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°
∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC
∵∠PDC+∠ADB=π，
∴∠PDC+∠BEC=π，得四边形PDCE的对角互补
∴四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；---（5分）
（2）如图，连接DE，
∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，
∴由余弦定理，得DE2=CD2+CE2-2CD•CEcos60°=3CE2
由此可得CE2+DE2=4CE2=CD2，所以∠CED=90°
∵P，D，C，E四点共圆
∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP
解析
解：（1）∵正△ABC中，
∴BD=CE，AB=BC且∠ABD=∠BCE=60°
∴△ABD≌△BCE，得∠ADB=∠BEC
∵∠PDC+∠ADB=π，
∴∠PDC+∠BEC=π，得四边形PDCE的对角互补
∴四边形PDCE是圆内接四边形，即P，D，C，E四点共圆；---（5分）
（2）如图，连接DE，
∵在△CDE中，CD=2CE，∠DCE=60°，
∴由余弦定理，得DE2=CD2+CE2-2CD•CEcos60°=3CE2
由此可得CE2+DE2=4CE2=CD2，所以∠CED=90°
∵P，D，C，E四点共圆
∴∠DPC=∠CED=90°，得AP⊥CP
直线x+3y-7=0与kx-y-2=0与两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k=（ ）
正确答案
解析
解：如图所示，
如图所示，可得四边形OACB是圆内接四边形．
则直线BC⊥AB．
∴
故选B．
A
B
C
D4
正确答案
解析
解：由题知，在△BED和△BCE中，
∠EBD=∠ACE=∠CBE，∠BED=∠BCE，
∴△BED～△BCE，
所以 
即
∴BE=
故选B．
（几何证明选讲选做题）一个等腰三角形ABC的底边AC的长为6，△ABC的外接圆的半径长为5，则△ABC的面积是______．
正确答案
3或27
解析
∵AC=6，R=5，
∴sinB=
∴cosB=±
设AB=BC=x，
由余弦定理知36=
∴x=
∴△ABC的面积S=
或S=
故答案为：3或27
在三角形ABC中，O是外心，I是内心，若∠BOC=∠BIC，则∠A=______．
正确答案
60°
解析
利用圆周角定理可得∠BOC=2∠A；
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-∠BOC=180°-2∠A，
又∵∠IBC+∠ICB=
∴180°-2∠A=90°-
解得∠A=60°．
故答案为：60°．
（I ）求证：E、H、M、K四点共圆；
（II）若KE=EH，CE=3求线段 KM 的长．
正确答案
∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，-----------（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，-------------（5分）
（II）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，-----------（7分）
∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．----------（10分）
解析
∵AC=AH，AK=AE，∴四边形CHEK为等腰梯形，
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，-----------（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，-------------（5分）
（II）连接EM，由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，-----------（7分）
∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．----------（10分）
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