热门试卷

(1) y＝ (0≤x≤1)， AD＝·＝  θ∈[0º,60º]

(2) AD长度的最小值为2－3 当且仅当时取得最小值.

试题分析：(1)设A1B＝x，AD＝y，在△A1BD中，BD＝1－y，A1D＝AD＝y，有余弦定理得

y2＝(1－y)2＋x2－2x(1－y)cos60º＝(1－y)2＋x2－x＋xy∴x2－x＋xy－2y＋1＝0

y＝ (0≤x≤1)，

设∠A1AB＝θ∈[0º,60º]，则在△A1BA中，由正弦定理得：

＝＝ ∴AA1＝，

∴AD＝·＝     θ∈[0º,60º]

(2)y＝ (0≤x≤1)，令t＝2－x∈[1,2]∴y＝＝t＋－3≥2－3

当且仅当t＝，即x＝2－时等号成立．AD长度的最小值为2－3．

AD＝·＝    θ∈[0º,60º]

∵4sin(θ＋60º)·cosθ＝2sinθ·cosθ＋2cos2θ＝sin2θ＋ (1＋cos2θ)＝sin2θ＋cos2θ＋＝2sin(2θ＋60º)＋

∵θ∈[0º,60º]∴2θ＋60º∈[60º,180º]∴sin(2θ＋60º)∈[0,1]

∴4sin(θ＋60º)·cosθ∈[,2＋]∴AD≥＝ (2－)＝2－3∴AD长度的最小值为2－3 当且仅当时取得最小值.

点评：本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基础知识，同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力

(1) (2)见解析   (3)

(1)证明　∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.

∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED.

∴∠EDF＝∠C.

∵CD∥AP，∴∠C＝∠P.

∴∠P＝∠EDF.

(2)证明　∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，

∴△DEF∽△PEA.

∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.

∵AD、BC相交于点E，

∴DE·EA＝CE·EB.∴CE·EB＝EF·EP.

(3)解　∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，∴EC＝9.

∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6.

∵CE·EB＝EF·EP，∴9×6＝4×EP.

解得：EP＝.

∴PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.

由切割线定理得：PA2＝PB·PC，

∴PA2＝×，

∴PA＝.