热门试卷

见解析

证明：设外圆半径为R，内圆半径为r，作两圆的公切线TQ.

设PT交内圆于C，连结OP，O′C，则PM2＝PC·PT，所以.

由弦切角定理知∠POT＝2∠PTQ，∠CO′T＝2∠PTQ，

则∠POT＝∠CO′T，所以PO∥CO′，

所以，即，为定值．

（1）见解析（2）见解析

证明：(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因为PE是∠APC的角平分线，所以∠EPC＝∠APD.又PA是圆O的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.所以AD＝AE.

(2)，△PCE∽△PAD，.，△PAE∽△PBD，.又PA是切线，PBC是割线PA2＝PB·PC.故.又AD＝AE，所以AD2＝DB·EC.

(1)见解析   (2)

(1)证明:∵AE=AB,∴BE=AB.

又∵AD=AC,AB=AC,∴AD=BE.

又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,

∴△BAD≌△CBE,∴∠ADB=∠BEC,

∴∠ADF+∠AEF=π,

∴A,E,F,D四点共圆.

(2)解:如图所示,取AE的中点G,连接GD,则AG=GE=AE.

∵AE=AB,∴AG=GE=AB=.

∵AD=AC=,∠DAE=60°,

∴△AGD为正三角形,

∴GD=AG=AD=,即GA=GE=GD=,

所以点G是△AED外接圆的圆心,且圆G的半径为.

由于A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.

CD＝5   BC＝6

解　由已知可得PT2＝PA·PB，

且PT＝6，PA＝3，∴PB＝12.

同理可得PC＝9，∴CD＝5.

∵PD·PC＝PA·PB，∴＝，

∴△PDA∽△PBC，

∴＝⇒＝，∴BC＝6.

(1)见解析   (2) 25°

解:(1)由圆I与AC相切于点E得IE⊥AC,结合HI⊥AH,得∠AEI=∠AHI=90°,所以A,I,H,E四点共圆.

(2)由(1)知A,I,H,E四点共圆,所以∠IEH=∠HAI.由题意知∠HIA=∠ABI+∠BAI=∠ABC+∠BAC=(∠ABC+∠BAC)=(180°-∠C)=90°-∠C,结合IH⊥AH,得∠HAI=90°-∠HIA=90°-(90°-∠C)=∠C,所以∠IEH=∠C.由∠C=50°得∠IEH=25°.