热门试卷

见解析

证明　如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.

因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．从而∠ABD＝∠ACE＝.所以BD∥CE，于是＝＝＝.所以AB∶AC为定值．

（1） 

又△ABC是等腰三角形，所以AD是∠CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上。（2））连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径， ∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°，又∠G+∠FHD=90°，∴∠FDH=∠G，又⊙O与AC相切于点F ，∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G，∴CG=CF=CD，∴点C是线段GD的中点。

试题分析：（I）证明：

又△ABC是等腰三角形，所以AD是∠CAB的角分线

∴圆心O在直线AD上。……………5分

（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，

∴∠DFH=90°，∴∠FDH+∠FHD=90°

又∠G+∠FHD=90°，∴∠FDH=∠G

又⊙O与AC相切于点F 

∴∠AFH=∠GCF=∠FHD  ∴∠GCF=∠G

∴CG=CF=CD

∴点C是线段GD的中点。   ………………10分

点评：本题利用了切线的性质，四边形的内角和为360度及圆周角定理求解．属于基础题型。

由△ADC∽△ACB

得，

又由△ACD∽△EBF得，

所以。

略

（1）见解析；（2）EC=．

本试题主要是考查了角平分线的性质，以及直线与圆的位置关系的运用。利用线线平行的判定定理得到平行的判定，并运用勾股定理得到结论。

解（1）取BD的中点O，连接OE．

∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠OBE．又∵OB=OE，∴∠OBE=∠BEO，

∴∠CBE=∠BEO，∴BC∥OE．………………3分

∵∠C=90°，∴OE⊥AC，∴AC是△BDE的外接圆的切线．  5分

（2）设⊙O的半径为r，则在△AOE中，

，即解得,      7分

∴OA=2OE，∴∠A=30°，∠AOE=60°．∴∠CBE=∠OBE=30°．

∴EC=．                 …………10分

（Ⅰ）证明过程详见解析；（Ⅱ）证明过程详见解析.

试题分析：本题考查四点共圆的判定和圆割线的性质.考查学生的分析问题解决问题的能力.第一问是证明四点共圆，证明四点共圆的基本方法：1.从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．2.若能证明其顶角相等(同弧所对的圆周角相等），从而即可肯定这四点共圆．3.把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．4.把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）5.证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．既连成的四边形三边中垂线有交点，即可肯定这四点共圆．上述五种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这五种基本方法中选择一种证法，给予证明．第二问是等式的证明，这一问中遇到的圆割线的性质（从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等）、相似三角形、勾股定理三式联立，证明等式成立.

试题解析：（Ⅰ）连结，则．因为，所以．

所以，即四点共圆．                5分

（Ⅱ）连结．由四点共圆，所以．在中，，，所以．           10分