离散型随机变量及其分布列、均值与方差_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于小时的社区服务才合格．教育部门在全市随机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段，，，，（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．

19.求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率；

20.从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位学生，记为3位学生中参加社区服务时间不少于90小时的人数．试求随机变量的分布列和数学期望和方差．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

根据题意，参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人），参加社区服务时间在时间段小时的学生人数为（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为人．所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为

考查方向

频率分布直方图；随机变量分布列

解题思路

第1问根据样本数据估计总体数据，第2问先把所有可能的情况列出来，然后用频率求概率

易错点

数据收集整理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由19题可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小

时的概率为由已知得，随机变量的可能取值为．

所以；；

；．

随机变量的分布列为

因为～，所以

考查方向

频率分布直方图；随机变量分布列

解题思路

第1问根据样本数据估计总体数据，第2问先把所有可能的情况列出来，然后用频率求概率

易错点

数据收集整理出错

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

甲、乙两人投篮命中的概率分别为与，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．

31.求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；

32.设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的概率分布和数学期望E(ξ)．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：

甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．

所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率

P＝．

考查方向

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题

解题思路

本题考查概率的求法，解题步骤如下：

（1）比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个，有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．由此能求出比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概

率．

易错点

解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）E(ξ)=1

解析

（2）ξ的取值为0，1，2，3，所以 ξ的概率分布列为

所以数学期望E(ξ)＝＝1．

考查方向

本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题

解题思路

本题考查概率的求法，解题步骤如下：

（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

易错点

解题时要认真审题，注意n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式的合理运用．

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图.

19.若直方图中后四组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；

20.学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1～50名和951～1000名的学生进行了调查，得到右表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?

21.在20题中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1～50的学生人数为，求的分布列和数学期望.

附：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设各组的频率为，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为所以视力在5.0以下的频率为3+7+27+24+21=82人，故全年级视力在5.0以下的人数约为

考查方向

分层抽样；随机事件的概率；分布列与期望

解题思路

图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望

易错点

计算错误；读取数据时有遗漏

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系

考查方向

分层抽样；随机事件的概率；分布列与期望

解题思路

图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望

易错点

计算错误；读取数据时有遗漏

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

依题意9人中年级名次在1～50名和951～1000名分别有3人和6人，

可取0、1、2、3 ，，

，

的分布列为

的数学期望

考查方向

分层抽样；随机事件的概率；分布列与期望

解题思路

图和表相互结合求得，先列出可取的所有情况，然后再求期望

易错点

计算错误；读取数据时有遗漏

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中.

20.重复上述过程2次后，求袋中有4个白球的概率；

21.重复上述过程3次后，记袋中白球的个数为X，求X的数学期望.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了排列、组合及简单计数问题, 古典概型的概率,离散型随机变量及其分布列、均值与方差,该题属于简单题

解题思路

使用排列组合知识写出基本事件空间和4个白球个数（注意分类），并用古典概型的概率公式计算概率

易错点

本题易错在分类不清

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了排列、组合及简单计数问题, 古典概型的概率,离散型随机变量及其分布列、均值与方差,该题属于简单题

解题思路

分清X所有可能取值

根据情况依次求概率

写分布列以及期望

易错点

本题易错在分类不清

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），

19.求的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；

20.从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内的小球个数为，求的分布列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率).

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

估计盒子中小球重量的平均值约为克;

解析

（Ⅰ）由题意，得，解得；

又由最高矩形中点的的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20（克），

而个样本小球重量的平均值为：（克）故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克；

考查方向

本题主要考查频率分布直方图的知识和二项分布的知识，意在考查考生的处理数据的能力和理解问题、解决问题的能力。

解题思路

根据频率分布直方图求出a的值，然后根据直方图估计盒子中小球重量的众数与平均值；

易错点

不会根据频率分布直方图估计平均数；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）的分布列为：

.

（或者）

解析

（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，

则.的可能取值为、、、，

，，

，.

的分布列为：

.（或者）

考查方向

本题主要考查频率分布直方图的知识和二项分布的知识，意在考查考生的处理数据的能力和理解问题、解决问题的能力。

解题思路

根据题意判断出，后利用二项分布的知识求出其分布列和期望即可。

易错点

看不出二项分布导致运算很麻烦。

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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易错点

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易错点