热门试卷

（1）因为数列是等比数列，且，，

所以 ，，

所以，，，. （写出满足条件的一组即可）

…………………………  2分

（2）（ⅰ）因为，

所以，， ，…，.

所以.

①若，所以，

所以数列是等差数列.                          …………………………  3分

②若，所以

所以.

因为，  所以不是常数.

所以数列不是等差数列.                         …………………………  5分

（ⅱ）因为数列是等比数列，首项，公比为，

所以，.  所以，.

因为数列是等比数列，

所以，即        所以.

所以当时，数列是等比数列.             ………………………… 7分

（3）因为是公差为的等差数列，

所以   又，

所以

所以，…，，

所以

                            …………………………  9分

所以，，，

，…

猜想：当时，.

用数学归纳法证明：

①当时，显然成立，

②假设当时，，

那么当时，

因为，，

所以

所以

所以当时，成立。

由①、②所述，当时，恒有.              …………………………  14分

（1）证明： 为直径，点为弧的中点，

，即。………2分

又平面,平面，

，

由平面，……4分

又平面，

。…………………………6分

⑵ 如图所示，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为，，，，………………………7分

设 则由，得

，…………………………9分

则，由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为 ，高为。……………………11分

所以该圆锥的体积为。……………………12分

（1）【解法一】分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

依题意，，

则各点坐标分别是，，

，，，

∴，，,

又∵平面，

∴平面的法向量为， （2分）

设直线与平面所成的角为，则

,          （6分）

∴直线与平面所成的角为。                 （7分）

【解法二】∵平面，

∴，又,

∴平面，

取中点，中点，联结，

则且，

∴是平行四边形，

∴即为直线与平面所成的角，（2分）

在中，，

在中，，             （6分）

∴直线与平面所成的角为。                （7分）

（2）【解法一】由（1）解法一的建系得，,，

设平面的法向量为，点到平面的距离为，

由，

得且，

取得，

∴，    （2分）

又，

∴,      （4分）

∴。    （7分）

【解法二】易证即为三棱锥底面上的高，

且，     （2分）

底面边上的高等于，且，

∴    （4分）

。  （7分）

【解法三】依题意，平面，

∴ （4分）

。         （7分）

解析：（1）因为平面，所以，又，所以平面，

就是与平面所成的角。         ………………2分

因为平面，与平面所成的角为，故，

由，得，，     ………………4分

所以，

所以与平面所成角的大小为。      ………………6分

（2）设点到平面的距离为，由（1）可得，，

则，………………8分

，………………10分

由，得。

所以点到平面的距离为，………………12分

………………12分

证明：（1）取线段的中点，连结、，

因为，，

所以，。

又，平面，所以平面。

而平面，

所以.

（2）因为，

平面，平面，

所以平面。

又平面，平面平面，

所以，同理得，

所以。

（1）证明：当，可知， .

又，，且，

平面.

而平面，.

由平面.

（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、并设.

设平面的法向量为，则.

，，

且，，取，

得平面的一个法向量为，

且，又，于是点到平面的距离

，或（舍）

所以，当点为棱的中点时，点到平面的距离等于.

解析：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系                                                                      1分

（1）依题意，，，，    ，

所以，                                  3分

所以，                       所以异面直线所成角为      6分

（2）设，则                                    7分

因为平面，

平面，所以                                            9分

所以，所以，                                  10分

所以

如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系。

则，，，，所以，，

，。

（1）因为，

所以异面直线与夹角的余弦值为。

（2）设平面的法向量为，

则 即

取平面的一个法向量为；

所以二面角平面角的余弦值为。

（1）分别取 的中点,连接,

则∥,∥,且

因为，,为的中点,

所以,

又因为平面⊥平面,

所以平面      ……………2分

又平面,

所以∥      ……………………4分

所以∥，且,因此四边形为平行四边形，

所以∥,所以∥，又平面，平面，

所以∥平面.……………………6分

（或者建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算即证）

（2）解法一:

过作的延长线于,连接.

因为,,

所以平面,平面

则有.

所以平面,平面,

所以.

所以为二面角的平面角，

即.           ……………………9分

在中，，则 ,.

在中，.

设，则,所以，又

在中,,即=

解得，所以 ………………12分

解法二:

由（1）知平面，,

建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则,,

,，

,.

设平面的法向量

则                  所以

令,  所以                  ……………………9分

又平面的法向量

所以

解得, 即                  ……………………12分