热门试卷

（1)

∵侧面底面，作于点，∴平面.

又，且各棱长都相等，∴，，.

故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

，，，，

∴，，，

设平面的法向量为，

则    解得.

由，

而侧棱与平面所成角，即是向量与平面的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱与平面所成角的正弦值的大小为，

（2）∵，而  ∴

又∵，∴点的坐标为，

假设存在点符合题意，则点的坐标可设为，∴。

∵，为平面的法向量，

∴由，得，

又平面，故存在点，使，其坐标为，即恰好为点。

（1）

（2）以为原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，

设菱形的边长为，∴，，，

设平面的法向量为

令得 ,同理可得平面的法向量

∴∴二面角的余弦值为

（1）证明：连结BD交AC于点O，连接EO，

∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB

∵，   ∴PB∥平面AEC

（2）证明：∵P点在平面ABCD内的射影为A，

∴      ∴

又∵在正方形ABCD中   且

∴   ∴

（3）过点B作于H，连接DH

易证，∴，BH=DH

∴为二面角的平面角

∵，∴AB为斜线PB在平面ABCD内的射影，

又故，又

，在中，

∴二面角的大小为

法一:

（1）如图， ，因为，所以，又平面，

以为轴建立空间坐标系，则，，，

，，,，

，，由，

知，又，从而平面；

（2）由，得。

设平面的法向量为，，，所以

，设，则

再设平面的法向量为，，

所以，设，则

故, 可知二面角余弦值的大小.

法二:

（1）如图， ，因为，平面，所以又,所以，从而平面；

（2）由（1）知为菱形，

≌.

作于,连,则

故为二面角的平面角，

.

故二面角余弦值的大小.

解析：（1）取PC的中点为O，连FO,DO，

∵F,O分别为BP，PC的中点，

∴∥BC，且,

又ABCD为平行四边形,∥BC，且,

∴∥ED，且

∴四边形EFOD是平行四边形          ---------------------------------------------2分

即EF∥DO   又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC。                   --------------------------------------------- 4分

（2）以DC为轴，过D点做DC的垂线为轴，DA为轴建立空间直角坐标系，

则有D （0 ,0 , 0），C（2，0，0）,B（2，0，3），P（，A（0，0，3）

------------------------------6分

设，

∴则               -----------------------------8分

设平面PBC的法向量为

则  即  取得-----------------10分

∴与平面所成角的正弦值为.          -------------------------12分

（1）取DE中点G，连接FG,AG，CG.

CFDG,所以FG∥CD.

CGAB, ,所以AG∥BC.

所以 平面AFG∥平面CBD

所以 AF∥平面CBD          ……5分

（2）如图以中点为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，

所以的中点坐标为因为，所以

易知是平面的一个法向量，

设平面的一个法向量为

由    ……8分

令则，，

所以面与面所成角的余弦值为.        ……12分

证明：（1）由直三棱柱ABC﹣A1B1C1，得A1B1∥AB，

又EF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，

∴EF∥平面ABD。

（2）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AB⊥BB1，AB⊥BC，

∴AB⊥平面BCC1B1，

又∵AB⊂平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BCC1B1。

解法一：以D点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，使得轴和轴的正半轴分别经过点A和点E，则各点的坐标为，，

，，，

（1）点F应是线段CE的中点，下面证明：

设F是线段CE的中点，则点F的坐标为，∴，

显然与平面平行，此即证得BF∥平面ACD；       ……………………4分

（2）设平面BCE的法向量为，

则，且，

由，，

∴，不妨设，则，即，

∴所求角满足，∴；       ……………………8分

（3）由已知G点坐标为（1，0，0），∴，

由（2）平面BCE的法向量为，

∴所求距离。                        ……………………12分

解法二：（1）由已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB//ED，

设F为线段CE的中点，H是线段CD的中点，

连接FH

则，∴，             …………………2分

∴四边形ABFH是平行四边形，∴，

由平面ACD内，平面ACD，平面ACD；    ……………4分

（2）由已知条件可知即为在平面ACD上的射影，       

设所求的二面角的大小为，则，            ……………………6分

易求得BC=BE，CE，

∴，

而，

∴，而，

∴；                                                                   ………………8分

（3）连结BG、CG、EG，得三棱锥C—BGE，

由ED平面ACD，∴平面ABED平面ACD ，

又，∴平面ABED，

设G点到平面BCE的距离为，则即，

由，，，

∴即为点G到平面BCE的距离，………………12分