热门试卷

解：解法一：（Ⅰ）在菱形ABCD中，连接DB，则△BCD是等边三角形.  

      ∵点E是BC边的中点  ∴DE⊥BC.  ∵PO⊥平面ABCD， 

      ∴OD是斜线PD在底面ABCD内的射影.∴PD⊥BC.      

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知DE⊥BC，菱形ABCD中，AD∥BC，   

     ∴DE⊥AD.   又∵PO⊥平面ABCD，DE是PD在平面ABCD的射影，

     ∴PD⊥AD.   ∴∠PDO为二面角P－AD－C的平面角.   

     在菱形ABCD中，AD⊥DE，由（1）知，△BCD为等边三角形，   

    ∵点E是BC边的中点，AC与BD互相平分， ∴点O是△BCD重心.   

    ∵AB＝6，  又∵在等边△BDC中，  DO＝DE＝·BC＝×6＝6.   ∴OC＝OD＝6.  

     ∵PC＝6，∴PO＝6.  ∴在Rt△POD中，tan∠PDO＝＝＝1.∴∠PDO＝.

      ∴二面角P－AD－C的大小为.                 

   （Ⅲ）

     取AD中点H，连接HB，HP.   则HB∥DE.  

     ∴HB与PB所成角即是DE与PB所成角.   连接OH，OB.  

     ∵PO⊥平面ABCD，OH，OB⊂平面ABCD，

     ∴PO⊥OH，PO⊥OB.  在Rt△DOH中，HD＝3，OD＝6，  

     ∴OH＝3.  在Rt△PHO中，PH＝＝.  在Rt△POB中，OB＝OC＝6，PB＝＝6   

      由（Ⅱ）可知DE＝HB＝9.  设HB与PB所成角为α， 则cosα＝＝.  

      ∴异面直线PB、DE所成角的余弦值为.     

   解法二：（Ⅰ）同解法一； 

  （Ⅱ）过点O作AD平行线交AB于F，以点O为坐标原点，建立如图的坐标系.  

   ∴A（6，－6,0），B（3，3,0），C（－3，3,0），   D（0，－6,0），P（0,0,6）.   

   ∴＝（－6，0,0），＝（0，－6，－6）.

    设平面PAD的一个法向量为s＝（a，m，n）. 

     则   即 ∴不妨取s＝（0，－1,1）  

    ∵＝（0,0,6）是平面ADC的一个法向量，∴cos〈s，〉. 

    ∴二面角P－AD－C的大小为.        

（Ⅲ）由已知，可得点E（0,3,0）. 

    ∴＝（3，3，－6），＝（0,9,0）. 

    ∴cos〈，〉＝＝.  即异面直线PB、DE所成角的余弦值为.