平面与平面平行的判定与性质
共195题

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平面与平面平行的判定与性质
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题型：简答题

简答题 · 10 分

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．

34.求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值；

35.点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

以A为坐标原点，以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图，

由题可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．

（1）∵AD⊥平面PAB，∴=（0，2，0），是平面PAB的一个法向量，

∵=（1，1，﹣2），=（0，2，﹣2），

设平面PCD的法向量为=（x，y，z），

由，得，

取y=1，得=（1，1，1），

∴cos＜，＞==，

∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为；

考查方向

本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

解题思路

（1）所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可；

易错点

本题考查求二面角的三角函数值，在计算过程中易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（2）∵=（﹣1，0，2），设=λ=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），

又=（0，﹣1，0），则=+=（﹣λ，﹣1，2λ），

又=（0，﹣2，2），从而cos＜，＞==，

设1+2λ=t，t∈[1，3]，

则cos2＜，＞==≤，

当且仅当t=，即λ=时，|cos＜，＞|的最大值为，

因为y=cosx在（0，）上是减函数，此时直线CQ与DP所成角取得最小值．

又∵BP==，∴BQ=BP=．

考查方向

本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

解题思路

（2）利用换元法可得cos2＜，＞≤，结合函数y=cosx在（0，）上的单调性，计算即得结论

易错点

本题考查求二面角的三角函数值，考查用空间向量解决问题的能力，在求最值时易错.

题型：简答题

简答题 · 14 分

如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC=CC1，设AB1的中点为D，B1C∩BC1=E．

求证：

19.DE∥平面AA1C1C；

20.BC1⊥AB1．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；

解析

（1）根据题意，得；E为B1C的中点，D为AB1的中点，所以DE∥AC；又因为DE⊄平面AA1C1C，AC⊂平面AA1C1C，所以DE∥平面AA1C1C；

考查方向

本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，是基础题目．

解题思路

根据中位线定理得DE∥AC，即证DE∥平面AA1C1C；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，

因为AC⊂平面ABC，所以AC⊥CC1；

又因为AC⊥BC，CC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面BCC1B1，

BC∩CC1=C，所以AC⊥平面BCC1B1；又因为BC1⊂平面平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC因为BC=CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

所以BC1⊥平面B1AC；又因为AB1⊂平面B1AC，

所以BC1⊥AB1．

解析

间答案

考查方向

本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，是基础题目．

解题思路

先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC，即证AC⊥CC1；再证明AC⊥平面BCC1B1，即证BC1⊥AC；最后证明BC1⊥平面B1AC，即可证出BC1⊥AB1．

易错点

本题考查了直线与直线，直线与平面以及平面与平面的位置关系，也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题，在严格应用定理过程中易错.

题型：单选题

单选题 · 5 分

7．三棱锥S-ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为

正确答案

解析

由已知可知SC垂直面ABC，

且底面三角形ABC中AC=4，AC边上的高为

故BC=4,在直角三角形SBC中，由SC=4

可得故选B

考查方向

简单空间图形的三视图

解题思路

由已知中的三视图可得SC垂直平面ABC，进而根据勾股定理得到答案

易错点

计算能力弱，空间立体感不强

知识点

平面与平面平行的判定与性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，，，，.

22.求证：面面；

23.设为上一点，满足，若直线与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）证明：由，，，

有，∴，∴，因为底面，∴.

因为，底面，所以面面.

解析

在梯形ABCD中，BC⊥BD，BC⊥PD，所以BC⊥平面PBD。又BC在平面PBC内，所以PBC⊥平面PBD.

考查方向

考查”两个平面互相垂直的判定定理：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。"

解题思路

根据已知条件及思路，需要在平面PBC内找到一条直线垂直于平面PBD。易证BC⊥BD，BC⊥PD，则得到BC⊥平面PBD。

易错点

难以找到一条直线垂直于另一个平面，或发现了垂直关系，但没有严格证明出现错误。

教师点评

此题考查了证明两个平面垂直的方法，是通过线面垂直而得到的。借此类题，要善于发现垂直关系。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

由（1）可知为与平面所成的角，

∴，∴，由及，

可得，，

以点为坐标原点，分别为轴建立空间坐标系，则

，

设平面的法向量为，

则，取，

设平面的法向量为，

则，取，

所以，所以二面角余弦值为.

题型：简答题

简答题 · 13 分

在如图所示的几何体中，平面平面，∥，是的中点，，，，．

18.求证：∥平面；

19.求证：平面；

20.求三棱锥的体积．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明：设为的中点，连结，，

在中，是的中点，∥，，又因为∥，且，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，

因为平面，平面，所以∥平面. …………4分

解析

证明：设为的中点，连结，，

在中，是的中点，∥，，又因为∥，且，所以∥，，所以四边形为平行四边形，所以∥，

因为平面，平面，所以∥平面. …………4分

考查方向

直线和平面平行的判定

解题思路

取AB的中点，连接FM和CM，利用三角形中位线和平行线的性质，推导出线面平行成立的条件。

易错点

证明出∥后，在证明DF平行平面ABC时，容易忽视平面，平面这两个条件。

教师点评

本题考察学生做辅助线的能力，考查学生对三角形中位线，平行四边形的性质，以及直线与平面平行的判定定理的掌握程度。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解：在直角三角形中，，所以，

因为，所以为直角三角形，， …………5分

已知平面平面，平面平面，

又因为，所以，

平面，所以，

又，所以平面，

因为平面，所以， …………7分

在中，因为，为的中点，所以，

又，所以平面，

由（Ⅰ）知∥，所以平面. …………9分

解析

解析：在直角三角形中，，所以，

因为，所以为直角三角形，，

已知平面平面，平面平面，

又因为，所以，

平面，所以，

又，所以平面，

因为平面，所以

在中，因为，为的中点，所以，

又，所以平面，

由（Ⅰ）知∥，所以平面.

考查方向

直线与平面垂直的判定与性质。

解题思路

分别在三角形ABC和三角形ABE中应用勾股定理证明，根据，和平面平面，平面平面，证明平面，所以，得出平面，平面，由（Ⅰ）知∥，所以平面

易错点

由，直接得出平面，记不住线面垂直的判定定理。

教师点评

本题难度中等，过程复杂，既考查了平面几何知识在立体几何中的灵活应用，又考察了直线和平面平行的判定和性质定理的应用。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解：由（Ⅱ）知平面，所以为三棱锥的高，

所以. …………13分

解析

解析：由（Ⅱ）知平面，所以为三棱锥的高，

所以.

考查方向

棱锥的体积公式

解题思路

三棱锥可以把任何一个面作为底，顶点到底面的距离作为高。这里把三角形CDE做底，BC做高，容易计算体积。

易错点

把BCE作为三棱锥的地面，很难求出高。

教师点评

本题考察学生对三棱锥体积公式的灵活运用。

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