- 直线和圆的方程的应用
- 共43题
19.如图，某城市有一块半径为1（单位：百米）的圆形景观，圆心为C，有两条与圆形景观相切且互相垂直的道路．最初规划在拐角处（图中阴影部分）只有一块绿化地，后来有众多市民建议在绿化地上建一条小路，便于市民快捷地往返两条道路．规划部门采纳了此建议，决定在绿化地中增建一条与圆C相切的小道AB．问：A，B两点应选在何处可使得小道AB最短？
正确答案
当A，B两点离道路的交点都为2－
解析
解法一：如图，分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．
设A(a，0)，B(0，b)(0＜a＜1，0＜b＜1)，
则直线AB方程为
因为AB与圆C相切，所以
化简得 ab－2(a＋b)＋2＝0，即ab＝2(a＋b)－2．
因此AB＝
＝
因为0＜a＜1，0＜b＜1，所以0＜a＋b＜2，
于是AB＝2－(a＋b)．
又ab＝2(a＋b)－2≤
解得0＜a＋b≤4－2
因为0＜a＋b＜2，所以0＜a＋b≤4－2
所以AB＝2－(a＋b) ≥2－(4－2
当且仅当a＝b＝2-
所以AB最小值为2
答：当A，B两点离道路的交点都为2－
解法二：如图，连接CE，CA，CD，CB，CF．
设∠DCE＝θ，θ∈(0，
在直角三角形CDA中，AD＝tan
在直角三角形CDB中，BD＝tan(
所以AB＝AD＋BD＝tan
＝tan
令t＝tan
则AB＝f(t)＝t＋
当且仅当t＝
所以AB最小值为2
此时A，B两点离两条道路交点的距离是1－(
答：当A，B两点离道路的的交点都为2－
考查方向
解题思路
本题考查基本不等式在最值问题中的运用，解题步骤如下：
分别由两条道路所在直线建立直角坐标系xOy．设A（a，0），B（0，b）（0＜a＜1，0＜b＜1），求得直线AB的方程和圆的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得a，b的关系，再由两点的距离公式和基本不等式，解不等式可得AB的最小值，及此时A，B的位置．
易错点
读不懂题意，无法得出ab＝2(a＋b)－2，利用基本不等式求出最值
知识点
4．“C=5”是“点(2，1)到直线3x+4y十C=0的距离为3”的( )
正确答案
解析
由题意知点
考查方向
解题思路
先求出点(2，1)到直线3x+4y十C=0的距离为3的充要条件的C的值为
易错点
采用代入验证出错。
知识点
14.若实数x,y满足
正确答案
3；
解析
试题分析：由直线与圆的位置关系，分类讨论去掉绝对值，利用线性规划求出最小值。
由
当2x＋y－2＞0时，|2x＋y－2|＋|6－x－3y |＝x－2y＋4，则可知当
可知当
综上所述，|2x＋y－2|＋|6－x－3y |的最小值为3.
考查方向
解题思路
根据直线与圆的位置关系，可得出6－x－3y＞0，然后根据2x＋y－2与0的
大小关系，去掉绝对值，利用线性规划的知识求出最小值．
易错点
注意利用直线与圆的位置关系去掉绝对值符号.
知识点
14．设点
正确答案
[-1,1]
解析
作OA⊥MN,垂足为A，在直角三角形OMA中，因为∠OMN=
考查方向
本题是2014年全国2卷理科第16小题，本小题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合能力和逻辑思维能力，考查分析问题和解决问题能力
解题思路
如图，由题意可知直线MN与圆O有公共点即可，圆形O到直线MN的距离小于等于1即可.
易错点
找不到处理该问题的一个合理方法，找不到角度与坐标之间的关系
知识点
6．由曲线y＝
A
B4
C
D6
正确答案
解析
知识点
13． 在如图所示的数阵中，分别按图中虚线，从上到下把划到的数一一列出，构成一个数列
正确答案
21
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
13．如图，设
正确答案
[1,2]
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
18．下图揭示了一个由区间
正确答案
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
11.已知数列{an}与{bn}满足bn+1-bn=3(an+1-an),n∈N*,在数列{an}中,
正确答案
解析
设
则f(x)在区间(0,4)上单调递减,在区间(4,+∞)上单调递增,
则在数列{an}中a4最小.
由题意知bn+1-3an+1=bn-3an,得{bn-3an}是常数列,
即bn-3an=b1-3a1,bn=3an+b1-3a1,在数列{an}中a4最小,
则b4=3a4+b1-3a1<3an+b1-3a1=bn,
故选D.
知识点
20．设
求：（Ⅰ）
（Ⅱ）
正确答案
解析
解析已在路上飞奔，马上就到！
知识点
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