热门试卷

⑴解：函数的定义域为，，

当时，，所以函数的单调增区间是，无减区间；

当时，；

当时，，函数的单调递减；

当时，，函数的单调递增.

综上：当时，函数的单调增区间是，无减区间；当时，函数的单调增区间是，减区间是.⑵解：令，问题等价于求函数的零点个数，当时，，有唯一零点；当时，，当时，，函数为减函数，注意到，，所以有唯一零点；当时，或时，时，所以函数在和单调递减，在单调递增，注意到，，所以有唯一零点；当时，或时，时，      所以函数在和单调递减，在单调递增，意到，所以，而，所以有唯一零点. 综上，函数有唯一零点，即两函数图象总有一个交点.

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（1），因为f(x)定义域为（0，+∞），

所以ax2-2x+a=0有正根且不为等根。显然a≠0,由x1x2=1>0.得Δ>0且x1+x2>0,

所以  0<a<1 。

（2）由上知，，因为x∈（0，+∞），

①若a≤0,则<0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递减，

因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

②若a≥1,则≥0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，

因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

③若0<a<1,记x1,x2分别为ax2-2x+a=0的两根，且x1<1<x2,且f(x)在（0，x1）单调递增，在（x1，x2）单调递增，（x2，+∞）单调递增。

因为f(1)=0,所以f(x1)>0，f(x2)<0.

当x∈（0，x1）时，取

令

显然，>0，所以h(a)在（0，1）单调递增，所以，

故f(x)在有一个零点；

因为，

则f(x)在有一个零点；

综上可知：当a≤0或a≥1时，有唯一零点；

当0<a<1时，有三个零点．

（Ⅰ）解：函数定义域为，

求导，得，

令，解得．

当变化时，与的变化情况如下表所示：

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

所以函数有极小值，无极大值．

（Ⅱ）证明：假设存在某个，使得直线与曲线相切，        

设切点为，又因为，

所以切线满足斜率，且过点，

所以，                                    

即，此方程显然无解，

所以假设不成立．

所以对于任意，直线都不是曲线的切线.         

（Ⅲ）解：“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”.

由方程，得.

令，则，其中，且.

考察函数，其中，

因为时，

所以函数在单调递增，且.

而方程中， ，且.

所以当时，方程无根；当时，方程有且仅有一根，

故当时，曲线与直线没有交点，而当时，曲线与直线有且仅有一个交点.