热门试卷

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设 ，则 .

在 上是增函数，所以当时， .

即当时，..

   .

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论（3）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”．涉及对数函数，要特别注意函数的定义域．

（I）当时．

所以函数在上单调递增；

又因为．所以函数有且只有一个零点

（II）函数的定义域是．

当时，

令，即，

所以或．

当，即时，在［1，e]上单调递增，

所以在［1，e]上的最小值是，解得；

当，即时，在上的最小值是，即令，，

在单调递减，在单调递增；

而，，不合题意；

当 即时，在上单调递减，

所以在上的最小值是，解得，

不合题意    综上可得．

(III) 因为方程有两个不同实根，即有两个不同实根，得，令

在上单调递增，上单调递减

时，取得最大值，

由，得当时，，而当，，图像如下

∴ 即当时有两个不同实根

满足，

两式相加得：，两式相减地

．不妨设，要证，只需证，

即证，

设，令，

则，∴函数在上单调递增，而．

∴，即．

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论（3）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”．涉及对数函数，要特别注意函数的定义域．

（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，

所以，得.

（2）由（1）知对任意都成立，

所以，即对任意都成立，从而.

又不等式整理可得，令，

所以，得，

当时，，函数在上单调递增，

同理，函数在上单调递减，所以，

综上所述，实数的取值范围是.

（3）结论是.

证明：由题意知函数，所以，

易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.

因为是函数的两个零点，所以，相减得，

不妨令，则，则，所以，，

即证，即证，

因为，所以在上单调递增，所以，

综上所述，函数总满足成立.