函数零点的判断和求解_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．

25.试讨论f（x）的单调性；

26.若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

解析

（1）∵f（x）=x3+ax2+b，

∴f′（x）=3x2+2ax，

令f′（x）=0，可得x=0或﹣．

a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；

a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

考查方向

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

解题思路

（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；

易错点

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，分类讨论中易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

c=1

解析

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，

∵b=c﹣a，

∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．

设g（a）=﹣a+c，

∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，

∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，

∴c=1，

此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，

∵函数有三个零点，

∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，

∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，

解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

综上c=1．

考查方向

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

解题思路

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．

易错点

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，在用范围的过程中易错.

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．

25.试讨论f（x）的单调性；

26.若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

解析

（1）∵f（x）=x3+ax2+b，

∴f′（x）=3x2+2ax，

令f′（x）=0，可得x=0或﹣．

a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；

a＞0时，x∈（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，﹣），（0，+∞）上单调递增，在（﹣，0）上单调递减；

a＜0时，x∈（﹣∞，0）∪（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，x∈（0，﹣）时，f′（x）＜0，

∴函数f（x）在（﹣∞，0），（﹣，+∞）上单调递增，在（0，﹣）上单调递减；

考查方向

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

解题思路

（1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，即可得出f（x）的单调性；

易错点

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，分类讨论中易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

c=1

解析

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，

∵b=c﹣a，

∴a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．

设g（a）=﹣a+c，

∵函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

∴在（﹣∞，﹣3）上，g（a）＜0且在（1，）∪（，+∞）上g（a）＞0均恒成立，

∴g（﹣3）=c﹣1≤0，且g（）=c﹣1≥0，

∴c=1，

此时f（x）=x3+ax2+1﹣a=（x+1）[x2+（a﹣1）x+1﹣a]，

∵函数有三个零点，

∴x2+（a﹣1）x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根，

∴△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，且（﹣1）2﹣（a﹣1）+1﹣a≠0，

解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），

综上c=1．

考查方向

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，考查分类讨论的数学思想，难度大．

解题思路

（2）由（1）知，函数f（x）的两个极值为f（0）=b，f（﹣）=+b，则函数f（x）有三个不同的零点等价于f（0）f（﹣）=b（+b）＜0，进一步转化为a＞0时，﹣a+c＞0或a＜0时，﹣a+c＜0．设g（a）=﹣a+c，利用条件即可求c的值．

易错点

本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查函数的零点，在用范围的过程中易错.

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.设，则（）

A既是奇函数又是减函数

B既是奇函数又是增函数

C是有零点的减函数

D是没有零点的奇函数

正确答案

B

解析

因为,

故f(x)为奇函数，

又恒成立，故函数f(x)为单调递增函数，

故选B.

考查方向

本题主要考查函数的奇偶性和单调性.

解题思路

利用函数奇偶性的定义和导数判断函数的单调性.

易错点

函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。

知识点

函数单调性的判断与证明函数奇偶性的判断函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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单选题

()是会计职业组织对整个会计职业的会计行为进行自我约束、自我控制的过程。

A．会计人员自律
B．会计行业自律
C．会计队伍自律
D．会计主管自律

正确答案

B

解析

暂无解析

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.设函数，，其中．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围是（）

A或

B

C或

D

正确答案

C

解析

根据分段函数的解析式，作出图象，

当直线过点（1，1）时，;当直线与曲线相切时，可求得m=-1，根据图象可知当或m=-1时，函数g(x)在区间（-1，1）上有且仅有一个零点，故选A

考查方向

分段函数的性质

函数与方程的零点问题

解题思路

根据图象和方程的零点，然后求出M的取值范围

易错点

对函数的图象性质掌握不好，作图错误

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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多选题

除了宏观因素和微观因素外，其他影响个人理财活动的因素有( )。

A．客户对理财业务的认知度
B．金融机构监管体制
C．中介机构发展水平
D．其他理财机构理财业务的发展
E．商业银行个人理财业务定位

正确答案

A,B,C,D,E

解析

[解析] 除了宏观因素和微观因素外，个人理财活动主体的意识和行为以及其他一些因素都会直接和间接对商业银行个人理财业务产生影响。题目所给五个选项都是正确的。

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

13.已知函数，，则方程实根的个数为__________。

正确答案

4

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

分段函数的解析式求法及其图象的作法函数图象的应用函数零点的判断和求解

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．函数的零点个数为．

正确答案

2

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数零点的判断和求解

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.设是等比数列，，，，的各项和，其中，，．

（1）证明：函数在内有且仅有一个零点（记为），且；

（2）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并加以证明。

正确答案

（1）则

所以在内至少存在一个零点.

又，故在内单调递增，

所以在内有且仅有一个零点.

因为是的零点，所以，即，故.

（2）解法一：由题设，

设

当时,

若,

所以在上递增，在上递减，

所以，即.

综上所述，当时, ；当时

解法二由题设，

当时,

当时, 用数学归纳法可以证明.

当时, 所以成立.

假设时，不等式成立，即.

那么，当时，

.

又

令，则

所以当,,在上递减；

当,,在上递增.

所以，从而

故.即，不等式也成立.

所以，对于一切的整数，都有.

解法三:由已知，记等差数列为,等比数列为,则，，

所以,

令

当时, ,所以.

当时,

而，所以，.

若, ,,

当,,,

从而在上递减,在上递增.所以，

所以当又,，故

综上所述，当时, ；当时

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

函数零点的判断和求解等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

9. 定义在上的偶函数，当时，，则在上

的零点个数为个

正确答案

4

解析

因为，所以当时，在上递减，在上递增，且最小值为，又因为，所以时有两个零点，又因为为R上的偶函数，所以在上的零点个数为4个。

考查方向

①函数的综合应用②复合函数的单调性③偶函数的应用。

解题思路

判断时函数的单调性以及最值情况，结合，得出时有两个零点，进而知道在上的零点个数为4个。

易错点

①注意不到的正负导致不严密②单调性判断有误

知识点

函数奇偶性的性质函数零点的判断和求解

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