- 空间几何体的结构特征
- 共964题
已知向量
正确答案
解析
由
知识点
已知在平面直角坐标系
A5
B10
C14
D
正确答案
解析
不等式组的可行域如图所示BCD区域，
＝
知识点
如图，已知平面四边形ABCD中，D为PA的中点，PA⊥AB，CD∥AB，且PA=CD=2AB=4，将此平面四边形ABCD沿CD折成直二面角P﹣DC﹣B，连接PA、PB，设PB的中点为E，
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值；
（3）在线段BD上是否存在一点F，使得EF⊥平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由。
正确答案
见解析
解析
（1）证明：直二面角P﹣DC﹣B的平面角为∠PDA=90°，且PD⊥DC，DA∩DC=D，
∴PD⊥平面ABCD，
∵BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC，
则BC=BD=
在三角形BCD中，BC2+BD2=CD2，
∴BD⊥BC，
∵PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD，
∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBD⊥平面PBC。
（2）∵PD，PA，DC两两垂直，PA=CD=2AB=4，
∴AB=2，∵E是PB的中点，
∴AD=DP=2，
则建立以D为原点的空间直角坐标系如图，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），D（0，0，0），P（0，0，2），
则
设平面PBC的法向量为
则由
则cos＜
∴直线AB和平面PBC所成角的正弦值等于cos＜
（3）∵F∈BD，故可设F（m，m，0），而PB的中点E（1，1，1），
∴
∵
∴
∴线段BD上是否存在一点F（
知识点
已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。
正确答案
解析
由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥
且棱锥的底面是一个以（2+1）=3为底，以1为高的三角形
棱锥的高为3
故棱锥的体积V=
故答案为：
知识点
一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于
A4
B3
C2
D
正确答案
解析
由题意得几何体为：底面为上底为1，下底为2，高为2的直角梯形，顶点在地面上射影为直角梯形高的中点，即锥的高为
知识点
如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，侧面PAB是边长为2的正三角形，侧面PAB⊥底面ABCD。
（1）设AB的中点为Q，求证：PQ⊥平面ABCD；
（2）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；
（3）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°，求
正确答案
见解析。
解析
（1）∵侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，∴PQ⊥AB，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD=AB，PQ⊂侧面PAB，
∴PQ⊥平面ABCD。
（2）
连接AC，设AC∩BD=O，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则O（0，0，0），
设斜线PD与平面ABCD所成角的为α，
则
（3）设
则M
设平面MBD的法向量为
则
取
∴
解得t=2（舍去）或
所以，此时
知识点
A
B
C
D
正确答案
解析
∵
则 m﹣（1﹣n）=0，即 m+n=1。
∴
当且仅当
知识点
已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
由三视图知，原几何体是一个三棱锥和一个半球的组合体，其中三棱锥的一个侧棱垂直于底面等腰直角三角形，且高为1，底面等腰直角三角形的腰为1，球的直径为 
∴原几何体的体积为V=
知识点
如图所示，以直角三角形ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，过点D作⊙O的切线，交BC边于点E，则
正确答案
解析
连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴CD⊥AB。
∵BC经过半径OC的端点C且BC⊥AC，∴BC是⊙O的切线，
而DE是⊙O的切线，∴EC=ED。
∴∠ECD=∠CDE，∴∠B=∠BDE，∴DE=BE。
∴BE=CE=
∴
知识点
设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且
正确答案
解析
由题意，
∵
知识点
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