数列的极限
共21题

· 数列的极限

数列的极限
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题型：填空题

填空题 · 4 分

14.无穷数列{an}由k个不同的数组成，Sn为{an}的前n项和.若对任意的，则k的最大值为 .

正确答案

解析

由于，于是，也即从第 2 项起数列的不同取值不超过 3 个，进而数列中的项的所有不同取值．事实上，取数列 : 2,1,0,−1 ,1,0,−1 ,1,0,−1 ,··· ,此时.

考查方向

推理

解题思路

归纳，推理

易错点

推理的切入点

知识点

数列与函数的综合数列的极限

题型：简答题

简答题 · 18 分

23.一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

（1）若点为抛物线准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明；

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(请简要说明理由)；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,求数列和的通项公式。

正确答案

（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：

（2）依题意，

随着的增大，点无限接近点

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近

所以 =

(注：只要能说明横纵坐标的变化趋势，用文字表达也行)

（3）设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：

，且

其中，∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

∴，

即当为偶数时，，

又，

∴当为奇数时，

∴，；

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知识点

等差数列的性质及应用数列的极限数列与解析几何的综合抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知数列的前项和为，且，．

（1）能否唯一确定数列的通项公式？若能，请求出的表达式；若不能，说明理由；

（2）能否求得的最大可能值与最小可能值？若能，请求之；若不能，说明理由；

（3）若，，数列的前项和为，求。

正确答案

（1）时，

即，且

由于与的关系不确定，

因此不能唯一确定数列的通项公式

（2）为使最大，只要

为使最小，，只要，且

∴ 的最大可能值为，的最小可能值为

（3），∴ ，

∴

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知识点

由an与Sn的关系求通项an数列的极限数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 4 分

12．若展开式的第9项的值为12，则（）．

正确答案

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知识点

数列的极限

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有（为常数），则称数列为“类等比数列”。

已知数列满足：，对于任意的，都有。

（1）求证：数列是“类等比数列”

（2）若是单调递增数列，求实数的取值范围

（3）当时，求的值。

正确答案

（1）因为，

所以，

所以数列是“类等比数列”

（2）

所以

当为奇数时

设

则

当是偶数时

设

则

因为递增

所以

即：

解得：。

（3）当时

则

当为偶数时

当为奇数时

即：

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知识点

等比数列的判断与证明数列的极限数列与不等式的综合

题型：填空题

填空题 · 4 分

8．无穷数列前项和的极限为（）．

正确答案

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知识点

三角函数的化简求值数列的极限

题型：单选题

单选题 · 5 分

18．设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）

正确答案

解析

当时,且，

而由,得

所以

而则为该圆在（1，1）处切线的斜率，

又且故.

故选A.

知识点

数列的极限数列与解析几何的综合直线与圆相交的性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

5．设数列．均为等差数列，且公差均不为，，则__________。

正确答案

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知识点

等差数列的基本运算等差数列的前n项和及其最值数列的极限

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．将杨晖三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼兹三角形。令，观察莱布尼兹三角形规律，计算极限=（）

正确答案

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知识点

裂项相消法求和数列的极限

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。

（1）求数列的首项和公比；

（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前2007项之和；

（3）设为数列的第项，：求的表达式，并求正整数，使得存在且不等于零。

正确答案

（1）依题意可知，。

（2）由（1）知，，所以数列的的首项为，公差，

，即数列的前项之和为。

（3）===；

；

=，

当时，=－，当时，=0，所以。

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知识点

等差数列的基本运算等差数列的前n项和及其最值等比数列的基本运算数列的极限

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