数列的极限
共21题

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题型：简答题

简答题 · 18 分

23.一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

（1）若点为抛物线准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明；

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(请简要说明理由)；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,求数列和的通项公式。

正确答案

（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：

（2）依题意，

随着的增大，点无限接近点

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近

所以 =

(注：只要能说明横纵坐标的变化趋势，用文字表达也行)

（3）设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：

，且

其中，∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

∴，

即当为偶数时，，

又，

∴当为奇数时，

∴，；

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知识点

等差数列的性质及应用数列的极限数列与解析几何的综合抛物线的标准方程和几何性质

题型：填空题

填空题 · 4 分

8．无穷数列前项和的极限为（）．

正确答案

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知识点

三角函数的化简求值数列的极限

题型：填空题

填空题 · 4 分

5．设数列．均为等差数列，且公差均不为，，则__________。

正确答案

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知识点

等差数列的基本运算等差数列的前n项和及其最值数列的极限

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．将杨晖三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如下图所示的分数三角形，称为莱布尼兹三角形。令，观察莱布尼兹三角形规律，计算极限=（）

正确答案

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知识点

裂项相消法求和数列的极限

题型：简答题

简答题 · 16 分

21．已知公比为的无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为。

（1）求数列的首项和公比；

（2）对给定的，设是首项为，公差为的等差数列，求的前2007项之和；

（3）设为数列的第项，：求的表达式，并求正整数，使得存在且不等于零。

正确答案

（1）依题意可知，。

（2）由（1）知，，所以数列的的首项为，公差，

，即数列的前项之和为。

（3）===；

；

=，

当时，=－，当时，=0，所以。

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知识点

等差数列的基本运算等差数列的前n项和及其最值等比数列的基本运算数列的极限

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