热门试卷

（1）因为是正三角形，是中点，

所以,即 ………………1分

又因为，平面，………………2分

又，所以平面  ………………3分

又平面，所以 ………………4分

（2）在正三角形中， ………………5分

在中，因为为中点，，所以

，所以，所以  ………………6分

在等腰直角三角形中，，，

所以，，所以  ………………8分

又平面，平面，所以平面     ………………9分

（3）因为，

所以，分别以 为轴,  轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，

所以

由（2）可知，

为平面的法向量  ……………10分

，

设平面的一个法向量为,

则，即，

令则平面的一个法向量为  ………………12分

设二面角的大小为，  则

所以二面角余弦值为       ………………14分

（1）证明：由俯视图可得，BD2+BC2=CD2，

∴  BC⊥BD。

又∵  PD⊥平面ABCD，

∴  BC⊥PD，

∵  BD∩PD=D，

∴  BC⊥平面PBD。

（2）证明：取PC上一点Q，使PQ：PC=1：4，连接MQ，BQ。

由左视图知 PM：PD=1：4，∴  MQ∥ CD，。

在△ BCD中，易得∠ CDB=60°，∴  ∠ ADB=30°。

又 BD=2，∴  AB=1，。

又∵  AB∥ CD，，

∴  AB∥ MQ，AB=MQ。

∴ 四边形ABQM为平行四边形，

∴  AM∥ BQ。

∵  AM⊄平面PBC，BQ⊂平面PBC，

∴ 直线AM∥平面PBC。

（3）解：线段CD上存在点N，使AM与BN所成角的余弦值为，证明如下：

∵  PD⊥平面ABCD，DA⊥ DC，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz。

∴ 。

设 ，其中N（0，t，0）。

∴ ，。

要使AM与BN所成角的余弦值为，则有 ，

∴ ，解得 t=0或2，均适合N（0，t，0）。

故点N位于D点处，此时CN=4；或CD中点处，此时CN=2，有AM与BN所成角的余弦值为。