双曲线的标准方程及图象
共1422题

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双曲线的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

已知双曲线的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上一点P满足|PF1|•|PF2|=，求△PF1F2的周长．

正确答案

解：双曲线的a=6，b=8，c=10．

不妨设点P为双曲线右支上的点，则|PF1|-|PF2|=12，

由|PF1|•|PF2|=，

可得（|PF1|+|PF2|）2=（|PF1|-|PF2|）2+4|PF1|•|PF2|=144+25=169，

即有|PF1|+|PF2|=13，

则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=13+20=33．

解析

解：双曲线的a=6，b=8，c=10．

不妨设点P为双曲线右支上的点，则|PF1|-|PF2|=12，

由|PF1|•|PF2|=，

可得（|PF1|+|PF2|）2=（|PF1|-|PF2|）2+4|PF1|•|PF2|=144+25=169，

即有|PF1|+|PF2|=13，

则△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=13+20=33．

题型：填空题

填空题

已知抛物线y2=-8x的准线过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为______．

正确答案

解析

解：抛物线的焦点坐标为（-2，0）），准线方程为x=2．

则c=2．所以c2=m+3=4，解得m=1，

所以双曲线的离心率为e==2，

故答案为：2．

题型：简答题

简答题

已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求：

（1）双曲线的渐近线方程；

（2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积．

正确答案

解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则

∵焦距是实轴长的2倍，

∴c=2a，

∴b==a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x；

（2）由余弦定理可得4c2=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°=（PF1-PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，

∵焦距为10，

∴2c=10，2a=5

∴PF1•PF2=75．

∴S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=•75•=．

解析

解：（1）设双曲线方程为（a＞0，b＞0），则

∵焦距是实轴长的2倍，

∴c=2a，

∴b==a，

∴双曲线的渐近线方程为y=±x；

（2）由余弦定理可得4c2=PF12+PF22-2PF1•PF2cos60°=（PF1-PF2）2+PF1•PF2=4a2+PF1•PF2，

∵焦距为10，

∴2c=10，2a=5

∴PF1•PF2=75．

∴S△F1PF2=PF1•PF2sin60°=•75•=．

题型：填空题

填空题

已知双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为______．

正确答案

解析

解：∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左顶点（-a，0）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的距离为4，∴；

又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2，-1），∴渐近线的方程应是，而抛物线的准线方程为，因此，，

联立得，解得，

∴=2．

故双曲线的焦距为．

故答案为．

题型：单选题

单选题

已知双曲线-=1（b＞0）的左顶点为A1，右顶点A2，右焦点为F，点P为双曲线上一点，•=0，•=，则双曲线的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：∵点P为双曲线上一点，•=0，

∴P（c，），

∵A1（-，0），A2（，0），•=，

∴（--c，-）•（-c，-）=，

∴c2-3+=，

∴c2+-=0，

∴c=，

∴e===．

故选：A．

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