双曲线的标准方程及图象
共1422题

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双曲线的标准方程及图象
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题型：填空题

填空题

双曲线x2-2y2=2的焦点坐标是______，离心率是______．

正确答案

（±，0）

解析

解：双曲线x2-2y2=2即为-y2=1，

则a=，b=1，c=，

故焦点为（±，0），离心率为e==．

故答案为：（±，0），．

题型：填空题

填空题

双曲线x2-my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为______．

正确答案

解析

解：双曲线x2-my2=1化为x2-=1，

∴a2=1，b2=，

∵实轴长是虚轴长的2倍，

∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即1=，

解得m=4．

故答案为：4．

题型：简答题

简答题

（2015秋•武威校级期末）已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F1作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点，且AF2⊥x轴，如图．

（Ⅰ）求双曲线的离心率；

（Ⅱ）若|AB|=16，求双曲线的标准方程．

正确答案

解：（Ⅰ）将x=c代入双曲线的方程得y=±，A（c，）

在△AF1F2中tan30°=

即=，解得e==；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得b=a，设双曲线的方程为-=1，

设直线AB的方程为y=（x-a）

将其代入双曲线方程消去y得，5x2+2ax-9a2=0，解之得x1=-a，x2=a

将x1，x2代入①，得y1=-2a，y2=-a，故A（-a，-2a），B（a，-a），

故|AB|==a=16，

∴a=5，

∴双曲线的方程为．

解析

解：（Ⅰ）将x=c代入双曲线的方程得y=±，A（c，）

在△AF1F2中tan30°=

即=，解得e==；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得b=a，设双曲线的方程为-=1，

设直线AB的方程为y=（x-a）

将其代入双曲线方程消去y得，5x2+2ax-9a2=0，解之得x1=-a，x2=a

将x1，x2代入①，得y1=-2a，y2=-a，故A（-a，-2a），B（a，-a），

故|AB|==a=16，

∴a=5，

∴双曲线的方程为．

题型：简答题

简答题

斜率为2的直线l在双曲线-=1上截得的弦长为，求l的方程．

正确答案

解：设直线l的方程为y=2x+b，直线l和双曲线的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则将y=2x+b带入并整理得：

10x2+12bx+3b2+6=0；

∴；

∴=；

∴解得b2=15，∴；

∴直线l的方程为：y=2x-，或y=2x+．

解析

解：设直线l的方程为y=2x+b，直线l和双曲线的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则将y=2x+b带入并整理得：

10x2+12bx+3b2+6=0；

∴；

∴=；

∴解得b2=15，∴；

∴直线l的方程为：y=2x-，或y=2x+．

题型：填空题

填空题

过双曲线-=1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，则|AB|=______．

正确答案

解析

解：由双曲线的方程得F1（-3，0），F2（3，0），直线AB的方程为y=（x-3）①

将其代入双曲线方程消去y得，5x2+6x-27=0，解之得x1=-3，x2=．

将x1，x2代入①，得y1=-2，y2=-

故|AB|=．

故答案为：．

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