双曲线的标准方程及图象
共1422题

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双曲线的标准方程及图象
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题型：简答题

简答题

如图，给定双曲线-=1，其右顶点为A，右焦点为F，l为其右准线．MN过焦点F的弦，射线NA、MA分别与准线l交于点C、D，P为线段CD的中点，证明：PF⊥MN．

正确答案

证明：设过点F（c，0）的直线l方程为：y=k（x-c），

设点M（x1，y1），点N（x2，y2）

将直线l方程y=k（x-c）代入-=1，

整理得：（b2-a2k2）x2-2ca2k2x+a2k2c2-a2b2=0，

∴x1+x2=，x1x2=①

直线AM的方程为：y=（x-a），直线AN的方程为：y=（x-a），

令x=，得点M（，（-a）），N（，（-a）），

∴点P的坐标（，[（-a））+（-a）]，

直线PF的斜率为k′={[（-a））+（-a）]}÷（-c）

=••（+）②

①②联立化简，可得直线PF的斜率为k′=-

∴kk′=-1，

∴PF⊥MN．

解析

证明：设过点F（c，0）的直线l方程为：y=k（x-c），

设点M（x1，y1），点N（x2，y2）

将直线l方程y=k（x-c）代入-=1，

整理得：（b2-a2k2）x2-2ca2k2x+a2k2c2-a2b2=0，

∴x1+x2=，x1x2=①

直线AM的方程为：y=（x-a），直线AN的方程为：y=（x-a），

令x=，得点M（，（-a）），N（，（-a）），

∴点P的坐标（，[（-a））+（-a）]，

直线PF的斜率为k′={[（-a））+（-a）]}÷（-c）

=••（+）②

①②联立化简，可得直线PF的斜率为k′=-

∴kk′=-1，

∴PF⊥MN．

题型：填空题

填空题

已知F1，F2是等轴双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60°，则|PF1|•|PF2|等于______．

正确答案

解析

解：∵双曲线C的方程为：x2-y2=1，

∴a2=b2=1，得c==

由此可得F1（-，0），F2（，0），焦距|F1F2|=2

∵∠F1PF2=60°，

∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|cos60°，即|PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=8①

又∵点P在双曲线C：x2-y2=1上，

∴||PF1|-|PF2||=2a=2，平方得|PF1|2-2|PF1|•|PF2|+|PF2|2=4②

①-②，得|PF1|•|PF2|=4

故答案为：4

题型：单选题

单选题

已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取最小值时，双曲线-=1的离心率为（　　）

正确答案

解析

解：由m＞0，n＞0，+=1得：1=+≥2，

可得mn≥8，

当且仅当n=2m=4，mn取得最小值8．

即有双曲线-=1为-=1，

即有a=2，b=2，c==2．

e==．

故选：C．

题型：单选题

单选题

将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b（a≠b）同时增加m（m＞0）个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（　　）

A对任意的a，b，e1＞e2

B当a＞b时，e1＞e2；当a＜b时，e1＜e2

C对任意的a，b，e1＜e2

D当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2

正确答案

解析

解：由题意，双曲线C1：c2=a2+b2，e1=；

双曲线C2：c′2=（a+m）2+（b+m）2，e2=，

∴=-=，

∴当a＞b时，e1＜e2；当a＜b时，e1＞e2，

故选：D．

题型：填空题

填空题

已知F为双曲线C：x2-=1的一个焦点，则点F到双曲线C的一条渐近线的距离为______．

正确答案

解析

解：双曲线C：x2-=1的a=1，b=2，c==，

则可设F（，0），

设双曲线的一条渐近线方程为y=2x，

则F到渐近线的距离为d==2，

故答案为：2．

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