二次函数与幂函数
共2034题

二次函数与幂函数
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数。

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求正实数的取值范围；

（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）当时，函数，。，曲线在点处的切线的斜率为，从而曲线在点处的切线方程为，即。

（2），令，要使在定义域内是增函数，只需在内恒成立，由题意，的图象为开口向上的抛物线，对称轴方程为，∴，只需，即时，∴在内为增函数，正实数的取值范围是。

（3）∵在上是减函数，∴时，；时，，即，

①当时，，其图象为开口向下的抛物线，对称轴在轴的左侧，且，所以在内是减函数，当时，，因为，所以，，此时，在内是减函数，故当时，在上单调递减，不合题意；

②当时，由，所以，又由⑵知当时，在上是增函数，∴，不合题意；

③当时，由⑵知在上是增函数，，又在上是减函数，故只需，，而，，即，解得，所以实数的取值范围是。

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为：,点，参数.

（1）求点轨迹的直角坐标方程；

（2）求点到直线距离的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）且参数，

所以点的轨迹方程为

（2）因为，所以，

所以，所以直线的直角坐标方程为。

法一：由（1）点的轨迹方程为，圆心为，半径为2.

，所以点到直线距离的最大值

法二：，当，，即点到直线距离的最大值.

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

等差数列的前项和，等比数列的公比，有,，，

（1）求数列，的通项公式；

（2）求数列的前项和，

正确答案

见解析

解析

解析:

（1）设公差为，

所以

解得

所以

（2）由（1）知

+ ①

①得 ②

①-②得

，

整理得，

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

根据下列算法语句，将输出的A值依次分别记为a1，a2，…，an，…，a2 014

（1）)求数列{an}的通项公式；

（2）令，若数列{bn}的前n项和，证明：对于任意的(n≤2 014),都有

正确答案

见解析

解析

（1）由已知，当n≥2时，

-1

而

所以数列{}的通项公式为-1

（2）由知-1,

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知实数满足.

（1）若直线与曲线:相交于两点，是坐标原点，且，若直线的斜率为，求曲线的离心率；

（2）当时，求的最小值.

命题意图:考查二次曲线的离心率，二次函数的最值，分类讨论思想，中档题。

正确答案

见解析。

解析

（1）由知为的中点，

设,

代入曲线方程:

因为的斜率为，从而,

，故曲线为焦点在轴上的椭圆，

（2）记

或

①若，此时

②若，此时

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

10．设满足则的最小值是______ 。

正确答案

解析

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知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

18. 设二次函数满足条件：①；②函数在轴上的截距为1，且.

（1）求的解析式;

（2）若的最小值为,请写出的表达式;

（3）若不等式在时恒成立,求实数的取值范围.

正确答案

解析

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知识点

函数解析式的求解及常用方法二次函数在闭区间上的最值不等式恒成立问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

9.设集合,则的真子集的个数为_________.

正确答案

解析

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知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：填空题

填空题 · 4 分

11.函数的最大值是（）。

正确答案

解析

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知识点

二次函数在闭区间上的最值二倍角的余弦

题型：单选题

单选题 · 5 分

7．已知函数则下列正确的是（）

A是偶函数，有最大值为

B是偶函数，有最小值为

C是偶函数，有最大值为2

D是奇函数，没有最小值

正确答案

解析

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知识点

函数奇偶性的判断二次函数在闭区间上的最值三角函数的最值

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