二次函数与幂函数
共2034题

二次函数与幂函数
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题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知的三个内角的对边分别为．

（1）若当时，取到最大值，求的值；

（2）设的对边长，当取到最大值时，求面积的最大值．

正确答案

（1）因为

，故当时，原式取到最大值，

即三角形的内角时，最大值为．

（2）由（1）结论可得，此时．

又，因此，当且仅当时等号成立．

所以，故面积的最大为．

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知识点

二次函数在闭区间上的最值诱导公式的作用余弦定理

题型：填空题

填空题 · 4 分

17．设,且，若定义在区间内的函数是奇函数，则的取值范围是（）

正确答案

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知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知：二次函数（a，b为常数且a≠0）满足且方程有等根

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数m、n，（m＜n），使的定义域和值域分别为和？如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由。

正确答案

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知识点

函数解析式的求解及常用方法二次函数的图象和性质二次函数在闭区间上的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

14．设x，y为实数，若4x+y+xy=1，则2x+y的最大值是________。

正确答案

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知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．已知函数．

（1）当时，解关于的不等式；

（2）对于给定的正数，有一个最大的正数，使得在整个区间上，不等式恒成立．求出的解析式；

（3）函数在的最大值为，最小值是，求实数和的值．

正确答案

（1）时，

由①得，，由②得，或，

∴为所求．

（2）∵，当，即时，

当，即时，

∴

（3），显然

①若，则，且，或，

当时，，不合题意，舍去

当时，

②若，则，且，或，

当时，，若，，符合题意；

若，则与题设矛盾，不合题意，舍去

当时，，

综上所述，和符合题意．

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知识点

二次函数在闭区间上的最值一元二次不等式的解法不等式恒成立问题

题型：单选题

单选题 · 5 分

7．函数有（）

A最大值3，最小值2

B最大值5，最小值3

C最大值5，最小值2

D最大值3，最小值

正确答案

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知识点

二次函数在闭区间上的最值三角函数的最值

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．对于函数，如果存在实数使得，那么称为的生成函数

（1）下面给出两组函数，是否分别为的生成函数？并说明理由；

第一组：；

第二组：；

（2）设，生成函数。若不等式在上有解，求实数的取值范围；

（3）设，取，生成函数图像的最低点坐标为。若对于任意正实数且。试问是否存在最大的常数，使恒成立？如果存在，求出这个的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

（1）① 设，即，

取，所以是的生成函数．

② 设，即，

则，该方程组无解．所以不是的生成函数．

（2）

，即，

也即

因为，所以

则

函数在上单调递增，．故，．

（3）由题意，得，则

，解得，所以

假设存在最大的常数，使恒成立．

于是设

令，则，即

设，．

设，

，，所以在上单调递减，

，故存在最大的常数

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知识点

抽象函数及其应用二次函数在闭区间上的最值两角和与差的正弦函数

题型：简答题

简答题 · 13 分

18．给定函数（为实常数），是展开式的中间项，

（1）若函数在上的最大值为，求实数的取值集合；

（2）在（1）的条件下，若在区间上恒成立时实数的取值集合为，全集为，求

正确答案

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知识点

交、并、补集的混合运算函数恒成立问题二次函数在闭区间上的最值定积分的简单应用求二项展开式的指定项或指定项的系数

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．设二次函数在区间上的最大值为12，且关于的不等式的解集为

（1）求函数的解析式；

（2）若对于任意的时，不等式恒成立，求正数的取值范围。

正确答案

（1）设

∵ 在上最大值为12，

∴

（2），即：

∴

即，∴

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二次函数的图象和性质二次函数在闭区间上的最值不等式恒成立问题

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．已知函数f（x）＝cos（2x－）＋sin2x－cos2x．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及其图象的对称轴方程；

（Ⅱ）设函数g（x）＝[f（x）] 2＋f（x），求g（x）的值域．

正确答案

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知识点

二次函数在闭区间上的最值三角函数的周期性及其求法正弦函数的定义域和值域正弦函数的对称性三角函数中的恒等变换应用

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