变化率与导数
共3697题

变化率与导数
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题型：填空题

填空题

函数在上递增，则实数的取值范围是．

正确答案

先对函数f（x）=x+asin x进行求导，根据原函数是R上的增函数一定有其导函数在R上大于等于0恒成立得到1+acosx≥0，再结合cosx的范围可求出a的范围．

解答：解：∵f′（x）=1+acosx，

∴要使函数f（x）=x+asinx在R上递增，则1+acosx≥0对任意实数x都成立．

∵-1≤cosx≤1，

①当a＞0时-a≤acosx≤a，

∴-a≥-1，∴0＜a≤1；

②当a=0时适合；

③当a＜0时，a≤acosx≤-a，

∴a≥-1，

∴-1≤a＜0．

综上，-1≤a≤1．

故答案为：[-1，1]

题型：填空题

填空题

过原点作函数的图像的切线，则切点坐标是

正确答案

略

题型：填空题

填空题

已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知．

（1）求函数的图像在处的切线方程；

(2)设实数，求函数在上的最大值

（3）证明对一切，都有成立．

正确答案

（1） (2) （3）同解析

（1）定义域为

又

函数的在处的切线方程为：，即

（2）令得当，，单调递减，

当，，单调递增．

在上的最大值

当时，

当时，，

(3)问题等价于证明，由(2)可知的最小值是，当且仅当时取得. 设，则，易得，

当且仅当时取到，从而对一切，都有成立．

题型：简答题

简答题

（Ⅰ）求的单调区间和值域；

（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，

使得成立，求的取值范围

正确答案

（1）当时，是减函数；当时，是增函数；

（2）

对函数求导，得

令解得或

当变化时，、的变化情况如右表：

所以，当时，是减函数；当时，是增函数；

当时，的值域为

（Ⅱ）对函数求导，得

因此，当时，

因此当时，为减函数，从而当时有

又，，即当时有

任给，，存在使得，则

即解式得或

解式得又，故：的取值范围为

题型：简答题

简答题

某厂生产一种产品，其总成本为，年产量为，产品单价为，三者之间存在关系：．问：应确定年产量为多少时，才能达到最大利润？此时，产品单价为多少？

正确答案

年产量定为30时，可获利润最大，此时单价

，销售收入，

利润，

．

由，得，时，；

时，．

故年产量定为30时，可获利润最大，此时单价．

题型：简答题

简答题

（本小题满分14分）

已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，

在上是增函数，

(Ⅰ)如果函数的值域是，求实数的值；

(Ⅱ)研究函数(常数)在定义域内的单调性，并说明理由；

(Ⅲ)若把函数(常数)在[1，2]上的最小值记为，

求的表达式

正确答案

m=2,∴当或时，，得在、上是减函数，

当或时，，得在、上是增函数

(Ⅱ) 由题设知：（6分）

∴当或时，，得在、上是减函数，

当或时，，得在、上是增函数。

（10分）

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，在上是减函数，在上是增函数，

∴当，即时，在上是减函数，得（11分）

当，即时，在上是减函数，在上是增函数，

得，（12分）

当，即时，在上是增函数，得．（13分）

∴．（14分）

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）已知函数

（1）解不等式：；

（2）当时，求函数的最小值。

正确答案

题型：填空题

填空题

已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是

正确答案

或

试题分析：有极大值和极小值说明的导函数有两个不同的解，所以有，所以有解得：或。

题型：填空题

填空题

若曲线y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=　　　　.

正确答案

切线的斜率为k=2,

又因y′=αxα-1,

则k=α,所以α=2.

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