变化率与导数
共3697题

变化率与导数
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题型：简答题

简答题

定义在上的函数满足且当时，

都有；

（1）判断在上的单调性,并证明你的结论.

（2）若是奇函数, 不等式对所有的恒成立,

求的取值范围.

正确答案

（1）见解析（2）或.

(1)证明:设令,

则

,,在[-1,1]上是增函数.

(2)当时, 不成立(舍去)

当时, 在[-1,1]上是增函数,

当时, 是奇函数, ,,

综上所述:或.

题型：简答题

简答题

(本小题满分12分)

已知函数，为实数）有极值，且在处的切线与直线平行.

（I）求实数a的取值范围；

（II）是否存在实数a，使得函数的极小值为1，若存在，求出实数a的值；若不存

在，请说明理由；

（Ⅲ）设

求证：.

正确答案

解:（1）

由题意

①

②

由①、②可得，

故实数a的取值范围是 ………4分

（2）存在

由（1）可知，

，

的极小值为1. ………8分

（3）

∴其中等号成立的条件为.

………12分

另证：当n=1时，左=0，右=0，原不等式成立.

假设n="k" ()时成立，即

即当时原不等式成立.

综上当成立. ………12分

略

题型：填空题

填空题

．函数的单调增区间为______________________________。

正确答案

略

题型：简答题

简答题

圆柱形容器，其底面直径为2m,深度为1 m,盛满液体后以0.01m3/s的速率放出，求液面高度的变化率

正确答案

略

题型：填空题

填空题

函数的图象在处的切线方程为

正确答案

略

题型：简答题

简答题

（本小题满分10分）求下列函数的导函数：

（1）（2）（3）

正确答案

(1) (2) (3)

略

题型：简答题

简答题

若，求：（1）在之间的平均速度（设）；

（2）在时的瞬时速度．

正确答案

1）．当时，；当时，；

当时，．（2）．

（1）．

当时，；

当时，．

（2）．

题型：简答题

简答题

已知s=，（1）计算t从3秒到3.1秒内平均速度；（2）求t=3秒是瞬时速度。

正确答案

（1）（2）29.4米/秒

（1）指时间改变量；

　　　　指时间改变量

　　　　。

（2）从（1）可见某段时间内的平均速度随变化而变化，越小，越接近于一个定值，由极限定义可知，这个值就是时，的极限，

V==

=（6+=3g=29.4(米/秒)。

题型：填空题

填空题

曲线在处的切线方程为 .

正确答案

试题分析：因为，所以，从而曲线在处的切线方程为即.

题型：简答题

简答题

已知函数．

（Ⅰ）若曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行，求a的值；

（Ⅱ）若a>0，函数y=f(x)在区间(a，a 2-3)上存在极值，求a的取值范围；

（Ⅲ）若a>2，求证：函数y=f(x)在(0，2)上恰有一个零点．

正确答案

（1）（2）

（3）先结合导数分析证明函数f(x)在(0，2)内单调递减．那么得到结论。

试题分析：．解：（Ⅰ）， 1分

， 2分

因为曲线y=f(x)在(1，f(1))处的切线与直线x+y+1=0平行

所以， 3分

所以． 4分

（Ⅱ）令， 5分

即，所以或． 6分

因为a>0，所以不在区间(a，a2-3)内，

要使函数在区间(a，a 2-3)上存在极值，只需． 7分

所以． 9分

（Ⅲ）证明：令，所以或．

因为a>2，所以2a>4， 10分

所以在(0，2)上恒成立，函数f(x)在(0，2)内单调递减．

又因为，， 11分

所以f(x)在(0，2)上恰有一个零点． 12分

点评：主要考查了导数在研究函数中的运用，属于基础题。

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